수학적 개념이나 문제를 시각화해서 재미있게 표현하는 최애 채널 중 하나인 3Blue1Brown의 이번 영상.
위 그림처럼 완전 탄성 충돌과 마찰력이 없는 조건에서 1kg의 물체 A와 kg의 물체 B를 벽면, A, B의 순서가 되도록 나란히 놓은 뒤 선상에서 B를 움직여 A와 충돌시키고나면, 더 이상 충돌이 일어나지 않을 때까지의 충돌 횟수가 원주율의 첫 n+1 자리수가 된다는 것. (엄밀히는 1의 오차까지 있을 수도 있다) 위의 경우는 충돌 횟수가 3141회가 된다.
증명 파트는 곧 올라올 예정인데 레퍼런스 페이퍼의 증명이 워낙 짧고 간단해서 이쪽 읽어도 될 듯. 아래는 그를 요약한 내용.
질량 을 갖는 A, B의 좌표를 각각 좌표로 대응시킨 configuration space에서 이 계가 움직이는 과정을 path로 그리면 위 그림과 같게 나오는데, 이걸 축 방향으로 배 늘린 선형변환 후에는 angle 내에서 입사각=반사각을 따르는 반사 모델이 된다고 한다. 좀 계산 복잡한 증명이 될 것 같지만 모멘텀과 에너지가 유지된다는 조건을 벡터 방정식으로 생각하면 의외로 매우 간단하게 증명된다.
반사란 곧 반사면에 대해 대칭시킨 상황에서의 직선이동을 뜻하므로 위 그림처럼 반사면마다 angle의 카피를 붙여놓는 식으로 생각했을 때, angle의 각이 라면 그 충돌 횟수는 대략 이 된다. 해당 케이스에서는 정확히 이 된다. 이고 그 차이가 보다 작기 때문에, 이 충돌 횟수는 거의 웬만하면 , 즉 원주율의 첫 자리수가 된다. 이 부분은 conjecture이고, 엄밀하게는 일어날 확률은 적지만 오차가 1까지 있을 수도 있다는 것.
앞에서는 두 물체의 위치를 좌표로 잡았다면, 여기에서는 속도를 좌표로 잡았다. 즉 좌표가 가 되도록 잡은 것.
그러면 에너지가 일정하단 점에서, 현재 상태에 해당하는 점은 반드시 주어진 원주 위에 놓여야 하고, 두 물체가 부딪히면 모멘텀이 일정해 기울기가 인 직선 위를 움직여야 하고 물체와 벽이 부딪히면 의 부호만 바뀐다는 점에 의해 상태를 나타내는 점은 위 그림처럼 원주 위에 등장해야 하며, 바뀌는 횟수가 곧 충돌 횟수이다.
그러면 등장하는 모든 호들의 원주각이 으로 일정하게 나오기 때문에 충돌은 총 회 일어난다. 결과는 동일하지만, 이쪽이 훨씬 더 기하학적으로 직관적임.
https://t.co/Hy0i0jxZ1z 이번 3B1B 영상은 완전탄성충돌+마찰력없음 조건에서 1kg의 물체 A, 10^{2n}kg의 물체 B를 벽면, A, B의 순서가 되도록 나란히 놓은 뒤 B를 움직여 A와 충돌시키고나면 더 이상 충돌이 일어나지 않을 때까지의 충돌 횟수가 원주율의 첫 n+1 자리수가 된다는 것
[1] G. Galperin, “Playing pool with (The number from a billiard point of view)” Regular and Chaotic Dynamics, 8(4), January 2003, DOI: 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252
udaqueness 
“충돌 모델과 원주율”의 1개의 생각