브라운 모션과 대수학의 기본 정리

2차원 브라운 모션을 이용해 대수학의 기본정리를 확률론적으로 증명하는 페이퍼[1]를 봤다. 요약하면 다항식 f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}에 대해 만약 f(z)=0의 해를 갖지 않는다면, f는 어떤 p \leq n에 대해 p-valent 함수이므로 f(z)=\omega의 해가 p개(중복 포함)가 되는 \omega \in \mathbb{C}가 존재하고, 복소평면에서 f(z_1)=\omega인 한 복소수 z_1에서 시작하는 브라운 모션 B_t를 잡으면 이 브라운 모션의 f의 이미지 역시 브라운 모션이 되며 양의 확률로 원점을 빙글빙글 도는 커브와 충분히 가깝게 잡을 수 있게 된다. 이를 이용해 폐곡선 \gamma를 잘 잡아 \gamma는 homotopic to zero하지만 \Gamma=f(\gamma)는 그렇지 않게 만들 수 있고, 이는 f가 연속임에 모순이 되어 증명이 끝난다.

증명에서 f가 다항식이란건 거의 쓰이지 않았고 p-valent란 사실밖에 안 쓰였으므로, 일반화해서 entire p-valent 함수는 전사함수임을 보일 수 있게 된다.

트윗을 정리. (2019/01/03)

References

[1] M. N. Pascu, “A Probabilistic Proof of the Fundamental Theorem of Algebra” Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 133, No. 6 (Jun., 2005), pp. 1707-1711. http://www.ams.org/journals/proc/2005-133-06/S0002-9939-04-07700-7/S0002-9939-04-07700-7.pdf

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