두 면이 항상 한 변에서 만나는 다면체

삼각형 네 개로 이루어진 사면체의 경우 어떤 두 면을 잡아도 정확히 한 변을 공유하는데, 이런 다면체가 또 존재하는가?

결론부터 이야기하자면 답은 ‘존재한다’이며, 그림에서 보여지는 다면체가 바로 조건을 만족하는 다면체이다. 조건을 만족하는 다면체는 현재까지 이 두 종류밖에 알려져있지 않으며, 더 존재하는지 여부는 아직 미해결.

이 다면체는 Lajos Szilassi가 1977년에 발견했으며, 그의 이름을 따서 Szilassi 다면체라고 불린다. 특징으로는 구멍이 하나 뚫린 듯한 모습으로 genus가 1이다. 이 다면체는 Ákos Császár가 발견한 Császár 다면체(어떤 두 점을 잡아도 이 둘을 끝점으로 갖는 변이 존재하는 다면체란 특징을 갖는다 [1])의 쌍대 다면체가 된다.

어떤 두 면도 한 변을 공유하는 다면체의 꼭지점, 변, 면의 개수를 각각 v,e,f로, genus를 g로 놓으면 이 다면체의 오일러 지표는 v-e+f=2-2g가 된다. 이 때, 두 면 F_1,F_2가 변 E를 공유하는 순서쌍 ({F_1,F_2},E)의 개수를 N이라 한다. 먼저, 어떤 두 면 F_1,F_2를 뽑아도 둘이 공유하는 변은 1개이므로 N=\frac{f(f-1)}{2}가 된다. 한 편, 어떤 변 E를 뽑아도 E를 포함하는 면은 정확히 두 개이므로 한 개의 순서쌍에 등장해 N=e가 된다. 따라서 e=\frac{f(f-1)}{2}를 얻는다.

한 편, 만약 한 꼭지점을 포함하는 면이 4개 이상이라면, 그 면들 중 이웃하지 않는 두 면을 뽑으면 그들은 이 점만을 공유하고 변을 공유하지 못해 모순이 된다. 따라서 모든 꼭지점에 대해 그를 포함하는 면의 개수는 정확히 3개가 되고, 이는 곧 점을 포함하는 변의 개수 또한 3개가 됨을 의미한다. 따라서 앞에서와 비슷하게 변 E가 점V를 포함하는 순서쌍 (E,V)의 개수를 세면 임의의 변은 2번 등장하고 임의의 점은 3번 등장하므로 3v=2e, 즉 v=\frac{f(f-1)}{3}을 얻는다. 따라서 2-2g=v-e+f=-\frac{f(f-7)}{6}을 얻게 되며, 정리하면 g=\frac{(f-3)(f-4)}{12}가 된다. v, g가 모두 정수가 되게 하는 f12k,12k+3,12k+4,12k+7 꼴이어야 한다. 다면체는 4개 이상의 면을 가져야 하므로, 면의 개수 f는 4,7,12,15,…만이 가능하게 된다. 즉, 조건을 만족시키는 (v,e,f,g)(4,6,4,0),(14,21,7,1),(44,66,12,6),\ldots이어야 한다.

첫 번째 경우는 사면체밖에 없다는 것을 쉽게 알 수 있지만, 두 번째 이후는 실례의 존재성을 이것만으로는 확인하기 힘들다. Szilassi는 그에 해당하는, 즉 꼭지점 14개, 변 21개, 면 7개, 구멍 1개인 다면체를 실제로 찾아낸 것. 만약 $g \geq 2$인 또 다른 예가 존재한다면, 최소한 점은 44개 이상, 변은 66개 이상, 면은 12개 이상, 구멍은 6개 이상이 있어야 하는 복잡한 도형이 되어야 하는 것.

한 편, 두 면이 한 변을 공유하는 다면체는 그와 같은 위상을 갖는 도형에서의 -색 정리와 연관이 있다. f개의 면을 갖는 조건을 만족시키는 다면체가 있다면 이것은 그와 같은 위상을 갖는 도형 표면을 f개의 영역으로 나누어 인접한 두 면이 다른 색을 갖게 하는 컬러링으로 대응되기 때문이다. 구면의 경우 4색 정리가 성립해 조건을 만족하는 도형의 면의 개수는 최대 4개여야 하는데 사면체가 그 최대의 경우를 만족시키는 것이며, 토러스는 7색 정리가 성립해 조건을 만족하는 도형의 면의 개수는 최대 7개여야 하는데 Szilassi 다면체가 그 최대의 경우를 만족시키는 것.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2017/06/03)

References

[1] A. Császár, “A polyhedron without diagonals” Acta Sci. Math. Szeged, 13: 140–142. http://www.diale.org/pdf/csaszar.pdf

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