다각형의 유리수도 내각

일본 수학 블로그 중 하나인 Fibonacci Freak에서 읽은 내용.

정리. 모든 변의 길이가 같은 다각형에 대해, 그 내각을 반시계방향으로 $\theta_1,\ldots,\theta_n$ 으로 둔다. $\theta_1,\ldots,\theta_{n-2}$ 가 모두 유리수도(˚)라면 $\theta_{n-1},\theta_n$ 도 유리수도가 된다.

즉 모든 변의 길이가 같은 $n$ 다각형의 연속한 $n-2$ 개의 내각이 유리수* $\pi$ 꼴이라면 나머지 연속한 2개의 내각도 그렇다는 것.

한 변의 길이를 1, $\theta_i$ 에 해당하는 꼭지점을 $A_i$ 라 하고, 이 다각형을 복소평면에 올려 $A_{n-1},A_n,A_1$ 이 각각 $\alpha, 0, 1$ 에 오도록 한다. 그러면 $\alpha$ 는 roots of unity의 합이되므로 한 cyclotomic field $K$ 의 대수적 정수가 되며, 또한 $|\alpha|=1$ 을 얻는다. $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 의 action은 complex conjugation과 가환이므로 $\alpha$ 의 conjugate들은 모두 절대값이 1이 되어야 한다. 따라서 Kronecker’s theorem에 의해 $\alpha$ 는 root of unity가 되어야 해 증명이 끝난다.