다각형의 유리수도 내각

일본 수학 블로그 중 하나인 Fibonacci Freak에서 읽은 내용.

정리. 모든 변의 길이가 같은 다각형에 대해, 그 내각을 반시계방향으로 \theta_1,\ldots,\theta_n으로 둔다. \theta_1,\ldots,\theta_{n-2}가 모두 유리수도(˚)라면 \theta_{n-1},\theta_n도 유리수도가 된다.

즉 모든 변의 길이가 같은 n다각형의 연속한 n-2개의 내각이 유리수*\pi 꼴이라면 나머지 연속한 2개의 내각도 그렇다는 것.

한 변의 길이를 1, \theta_i에 해당하는 꼭지점을 A_i라 하고, 이 다각형을 복소평면에 올려 A_{n-1},A_n,A_1이 각각 \alpha, 0, 1에 오도록 한다. 그러면 \alpha는 roots of unity의 합이되므로 한 cyclotomic field K의 대수적 정수가 되며, 또한 |\alpha|=1을 얻는다. \text{Gal}(K/\mathbb{Q})의 action은 complex conjugation과 가환이므로 \alpha의 conjugate들은 모두 절대값이 1이 되어야 한다. 따라서 Kronecker’s theorem에 의해 \alpha는 root of unity가 되어야 해 증명이 끝난다.

트윗 타래를 정리. (2018/09/17)

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