볼록다면체의 외각의 합

볼록다면체의 i번째 변 l_i에서 만나는 두 면이 이루는 각 중 외각에 해당하는 각을 \theta_i라 하면, \sum_i \theta_i \geq 3\pi이다.

볼록다각형의 외각의 합이 2\pi란 결과를 3차원으로 확장한 결과물이다. 2007년 일본 수학 올림피아드 하계 세미나 문제 코너에 출제된 문제. 문제를 공개하면 학생들이 답안을 제출해 점수를 받는 프로그램이었는데 이 문제는 제출된 답안이 없었을 정도로 쉽지 않은 문제였다. 여기서는 이리에 케이(入江慶)가 작성한 풀이를 요약하고자 한다.

먼저 볼록다면체 P의 한 변 l을 고정한다. 이 때, 어떤 단위벡터 v가 주어져 있을 때, l 위의 임의의 점 위에 v의 중점이 위치하도록 v를 평행이동시킨다. 만약 이 v가 그림처럼 P의 내부를 지나지 않는다면 “vPl에서 접한다”고 한다.

그러면 Pl에서 접하는 평면을 잡았을 때 그 평면 위의 모든 단위벡터들이 Pl에서 접하게 되고, 또한 이는 필요충분조건이 된다. 즉, Pl에서 접하지 않는 평면 위의 모든 단위벡터는Pl에서 접하지 않게 된다.

한 편, Pl에서 접하는 평면들이 어떤 것이 있는지 생각해보면, l을 포함하는 한 면을 포함하는 평면에서 시작하여 l을 중심으로 외각 \theta만큼 움직여 다른 면을 포함하는 평면에 도착할 때까지 회전하며 움직인다고 했을 때, 그 과정에서 등장하는 평면들이어야 한다. 따라서, 단위구 상에서 Pl에 접하는 단위벡터들의 끝점의 영역을 표시하면 그림과 같이 나와야 한다.

i번째 변 l_i에 대해 그에 해당하는 이 영역을 편의상 X_i라 두도록 한다. 그러면 X_i의 넓이는 \theta_i에 비례하며 \theta_i=\pi일 때 구 전체의 겉넓이 4\pi가 되므로, X_i의 넓이는 4\theta_i가 된다.

한 편, 이번엔 단위벡터 하나 v를 고정시키고 vP가 접하게 되는 변 l의 개수를 센다. 변 l에서 vP가 접할 필요충분조건은, “v와 수직인 평면 위로 P를 정사영시켰을 때 등장하는 볼록다각형의 변의 일부로 l이 사영된다”이다. 볼록다각형은 변의 개수가 3개 이상이므로 조건을 만족시키는 l의 개수도 3 이상이 되어야 하며, 이는 곧 단위구 위의 임의의 점을 잡으면 그 점은 3개 이상의 X_i에 덮임을 의미한다.

따라서, X_i의 넓이를 모두 더하면 구 위의 모든 점을 3번 이상 포함해야 하여 겉넓이의 3배인 12\pi 이상이 되어야 한다. (각 점마다 그를 포함하는 X_i의 개수를 함수로 정의해 적분을 하는 등으로 엄밀하게 만들 수 있음) 따라서 4\theta_i의 합이 12\pi 이상이 되어 \theta_i의 합은 3\pi 이상이 되어 증명이 끝난다.

증명을 따라가다보면 등호를 만족시키는 예가 없음을 알 수 있지만 3\pi는 최선의 값이다. 정사면체에서 한 점에서 다른 세 점이 이루는 삼각형에 대해 수선을 그리고 그 수선 위를 움직이며 삼각형에 가까이 다가가거나 무한히 멀리 떨어지는 두 예시 모두 외각의 합이 3\pi로 수렴함을 알 수가 있기 때문.

일본 올림피아드 쪽에서 가끔 이렇게 다면체 공간기하학 문제를 구면 위의 문제로 바꿔 푸는 경우가 등장했던 것으로 기억한다. 예컨대 2006년 IMO Shortlist C7 문제도 일본에서 제출했는데 이 역시 비슷한 아이디어를 적용한다.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2017/07/12)

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