모듈러 곡선의 실용적 이용

제목은 저렇게 썼지만 실은 정말 별거 아니고… tsujimotter의 모듈러 곡선에 대한 블로그 에서 X(1)이 왜 Riemann sphere와 homeomorphic인지 직접 종이에 그려 잘라가며 설명하는데, “완성된 Y(1)은 젓가락 봉투 같은 용도로 쓰세요”란 마지막 한 마디에 무심코 뿜어버려서……

참고로 해당 글의 내용은 다음과 같음. (이게 본론) 상반평면 H=\{\gamma \in \mathbb{C}:\text{Im}(\gamma)>0 \}을 잡는다. 즉 복소평면에서 실수축 위에 해당하는 반평면.

\text{SL}_2(\mathbb{Z}) = \left\{ \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ad-bc=1 \right\}의 원소 g=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\tau \in Hg \tau = \frac{a\tau +b}{c\tau +d} \in H로 대응시키는 작용을 하는데, g=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}g=\begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix}는 같은 작용을 하므로 \Gamma = \text{SL}_2(\mathbb{Z})/\{\pm I\}를 잡는 것을 생각할 수 있다. 이 \GammaH에 작용하는 정수계수 1차 분수 변환 전체와 일대일대응이 되며, 모듈러 군이라고 부른다.

모듈러 군 \GammaT=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} : \tau \mapsto \tau+1S=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} : \tau \mapsto -\frac{1}{\tau} 둘로 생성된다. 즉 이 둘은 각각 반평면을 +1 방향으로 평행이동하는 변환과 단위원 내부와 외부의 점들을 바꾸는 역할을 하는데 \Gamma의 모든 원소는 T,S,T^{-1},S^{-1}들을 유한번 적용해서 얻을 수 있게 된다.

이제 quotient set \Gamma \backslash H를 생각한다. 곧, H 위의 점들 \tau,\tau^{\prime}에 대해 어떤 g \in \Gamma가 존재해 \tau = g\tau^{\prime}를 만족시키게 한다면 서로 동치라고 정의했을 때 그 동치류를 뜻한다. 먼저 T로 생성되는 subgroup <T>=\{\tau \mapsto \tau+n:n \in \mathbb{Z}\}를 생각하면 \text{Re}(\tau)가 1/2보다 크거나 -1/2 이하인 경우 이 부분군의 원소를 통해 전부 \{\tau:-1/2 \leq \text{Re}(\tau) < -1/2\}로 옮길 수 있다. 이는 복소평면에서 띠 모양으로 나타난다. 이 띠에서 원점을 중심으로 하는 단위원 내부에 있는 점은 S를 적용해 원 외부로 빼낸 후 T,T^{-1}을 적절히 적용시키면, 띠 내부 단위원 외부의 점으로 옮길 수 있다. 그래서 구하고자 하는 quotient set은 다음과 같이 나타나며, 이를 \Gamma의 기본영역이라 부른다.

\Gamma \backslash HY(1)으로 표기하며 모듈러 곡선이라 부른다.

한 편 \frac{a \tau+b}{c \tau+d}\tau가 무한원점 \infty에 가까이 가면 유리수 \frac{a}{c}로 수렴하게된다. 따라서 H에 이 cusp를 포함시켜 확장된 상반평면 H^*=H \cup \mathbb{Q} \cup \{\infty\}을 정의하고 여기서 X(1):=\Gamma \backslash H^*로 정의한다. 이 X(1)Y(1)을 compactify한 것이 되며 X(1)에다 \infty에 대응하는 한 점을 포함시켰다고 보면 된다.

이 모듈러 곡선은 몇 가지 특징들을 갖는데 그 중 하나는 Riemann surface 구조를 갖는다는 것이다. 구체적으로 X(1)은 Riemann sphere와 homeomoephic하게 된다.

여기서는 편의상 무한원점을 i\infty로 표기한다
Source: http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/modular-curve-1

이걸 보이기 위해 종이로 직접 띠 모양을 잘라 붙여 확인하는 과정을 거친게 위에서 보여준 사진이 된다. 위 젓가락 봉투에서 열린 부분을 \infty 하나로 이어 붙여 compactification하면 구형이 됨.

그 외에도 이 모듈러 곡선은 모듈라이 해석을 갖기도 하고 대수 곡선의 구조를 갖기도 한다. 이에 대해서는 원글을 참조하는게 좋다. 위 내용에 대해서는 이 렉쳐노트를 참조하는 것도 좋을 듯.

트윗 타래를 정리. (2018/06/11)

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