모듈러 곡선의 실용적 이용

제목은 저렇게 썼지만 실은 정말 별거 아니고… tsujimotter의 모듈러 곡선에 대한 블로그 글에서 이 왜 Riemann sphere와 homeomorphic인지 직접 종이에 그려 잘라가며 설명하는데, “완성된 은 젓가락 봉투 같은 용도로 쓰세요”란 마지막 한 마디에 무심코 뿜어버려서……

참고로 해당 글의 내용은 다음과 같음. (이게 본론) 상반평면 을 잡는다. 즉 복소평면에서 실수축 위에 해당하는 반평면.

의 원소 는 를 로 대응시키는 작용을 하는데, 와 는 같은 작용을 하므로 를 잡는 것을 생각할 수 있다. 이 는 에 작용하는 정수계수 1차 분수 변환 전체와 일대일대응이 되며, 모듈러 군이라고 부른다.

모듈러 군 는 과 둘로 생성된다. 즉 이 둘은 각각 반평면을 +1 방향으로 평행이동하는 변환과 단위원 내부와 외부의 점들을 바꾸는 역할을 하는데 의 모든 원소는 들을 유한번 적용해서 얻을 수 있게 된다.

이제 quotient set 를 생각한다. 곧, 위의 점들 에 대해 어떤 가 존재해 를 만족시키게 한다면 서로 동치라고 정의했을 때 그 동치류를 뜻한다. 먼저 로 생성되는 subgroup 를 생각하면 가 1/2보다 크거나 -1/2 이하인 경우 이 부분군의 원소를 통해 전부 로 옮길 수 있다. 이는 복소평면에서 띠 모양으로 나타난다. 이 띠에서 원점을 중심으로 하는 단위원 내부에 있는 점은 를 적용해 원 외부로 빼낸 후 을 적절히 적용시키면, 띠 내부 단위원 외부의 점으로 옮길 수 있다. 그래서 구하고자 하는 quotient set은 다음과 같이 나타나며, 이를 의 기본영역이라 부른다.

이 를 으로 표기하며 모듈러 곡선이라 부른다.

한 편 는 가 무한원점 에 가까이 가면 유리수 로 수렴하게된다. 따라서 에 이 cusp를 포함시켜 확장된 상반평면 을 정의하고 여기서 로 정의한다. 이 는 을 compactify한 것이 되며 에다 에 대응하는 한 점을 포함시켰다고 보면 된다.

이 모듈러 곡선은 몇 가지 특징들을 갖는데 그 중 하나는 Riemann surface 구조를 갖는다는 것이다. 구체적으로 은 Riemann sphere와 homeomoephic하게 된다.

이걸 보이기 위해 종이로 직접 띠 모양을 잘라 붙여 확인하는 과정을 거친게 위에서 보여준 사진이 된다. 위 젓가락 봉투에서 열린 부분을 하나로 이어 붙여 compactification하면 구형이 됨.

그 외에도 이 모듈러 곡선은 모듈라이 해석을 갖기도 하고 대수 곡선의 구조를 갖기도 한다. 이에 대해서는 원글을 참조하는게 좋다. 위 내용에 대해서는 이 렉쳐노트를 참조하는 것도 좋을 듯.

트윗 타래를 정리. (2018/06/11)

tsujimotter.hatenablog.com/entry/modular-… modular curve X(1)이 왜 Riemann sphere와 homeomorphic인지 설명하는 사진에서 무심코 뿜고 말았다…. "완성된 Y(1)은 젓가… twitter.com/i/web/status/1…—
유닼 (@udaqueness) June 11, 2018