털난 공 정리의 간단한 증명

Hairy ball theorem이란 대수위상의 유명한 정리가 있는데, 구면 상의 각 점마다 그 구면에 접하는 벡터의 값을 갖도록 연속함수를 잡되 영벡터가 되지 않게 잡을 수 없다는 것. (no nonvanishing continuous tangent vector field) 보통 머리카락의 가마를 예시로 잡는데, 면 전체에 털이 나있는 구면을 빗질하면 반드시 가마가 생긴다란 비유를 주로 씀. “털난 공 정리”란 이름 역시 이 비유에서 나온 네이밍이며, 1912년 Brouwer가 증명해 Brouwer’s theorem이라고 하기도.

최근 Peter McGrath가 비교적 짧고 간단한 증명을 남겨서[1] 짤막하게 소개한다. 귀류법 가정으로 저런 S^2 위의 nonvanishing vector field v가 있다고 가정하면 S^2 위의 curve들마다 v에 대한 rotation number를 homotopy-invariant하게 정의할 수 있게 된다. 구면 위의 점 p에 대해 <q,p>=s인 같은 구 위의 점 q로 이루어진 커브를 C_{p,s}라 하면 전부 호모토픽하므로 그 rotation number는 일정한 값 n으로 나와야 하는데, C_{p,0}C_{-p,0}은 같은 대원에 방향만 다르므로 n=-n, 즉 n=0을 얻는다. 그러나 s \rightarrow 1에서 연속성에 의해 평면에서의 원의 rotation number와 같아져야 해서 n은 1 또는 -1이 되어야 하므로 모순이 된다.

트윗 타래를 정리. (2018/05/06)

References

[1] P. McGrath, “An Extremely Short Proof of the Hairy Ball Theorem” The American Mathematical Monthly,123(5): 502 1994 Feb; 17(2): 152-154. DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.5.502

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