피자 정리의 그림 한 장짜리 증명

원형의 피자 위에 한 점을 임의로 잡고 그 점을 지나는 사이각이 45도인 직선 네 개를 임의로 그어 피자를 8조각으로 나눈다. 두 사람이 번갈아가며 한 조각씩 먹었을 때, 둘이 먹은 부분의 넓이는 서로 같다.

“피자 정리”로 알려진 문제. Upton이 1967년 Mathematics Magazine의 문제 코너에 출제했으며, 8 대신 8 이상의 4의 배수로 바꿔도 성립한다. Carter와 Wagon이 1994년 같은 지면에 실은 풀이가 다음과 같다.[1]

말 그대로 proof without words. 대문자에 해당하는 부분이 소문자에 해당하는 부분으로 옮겨진다. 엄밀성을 따지자면 물론 저 그림의 validity도 증명해야 하지만 그림 하나만으로 뭘 얘기하고싶은지가 명확하니…

참고로 Vsauce 채널에서도 이 증명에 대해 다룬 적이 있다.

GeoGebra 리소스로 올라온 저 증명대로 피자를 분할하는 법 애플릿도 있다.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2017/05/08)

25. 원형의 피자 위에 한 점을 임의로 잡고 그 점을 지나는 사이각이 45도인 직선 네 개를 그어 피자를 8조각으로 나눈다. 두 사람이 번갈아가며 시계방향으로 하나씩 조각을 선택해 먹었을 때, 둘이 먹은 부분의 넓이는 서로 같다. pic.twitter.com/BOQgv0I2jk

— Elegant Math (@elegant_math) May 8, 2017

References

[1] L. Carter and S. Wagon, “Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza” Mathematics Magazine, Vol. 67, No. 4 (Oct., 1994), p. 267. DOI: 10.2307/2690845