알라딘의 수학 굿즈

지난 2018년 4월 과학의 달을 맞이해서 개최되었던 알라딘의 수학 그래픽 에코백 5종 이벤트.

다섯 가지 수학적 시각화 이미지를 담고 있으며, 알렉스 벨로스와 에드먼드 해리스의 “수학으로 만나는 세계“에서 발췌했다고 한다.

콜라코스키 수열(Kolakoski suquence)은 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,…로 시작하는 수열로, 이 수열에서 등장하는 연속한 같은 수의 개수를 세어서 차례로 수열을 만들어도 이 수열과 똑같아지는 특징을 갖는다. (나름 OEIS에서 아이디 A000002를 가짐) 즉 1이 1개, 2가 2개, 1이 2개, 2가 1개, 1이 1개, 2가 2개, … 에서 그 개수를 주목하면 다시 원래 수열이 되는 것.

수학 채널의 원조격 Numberphile에서도 이 수열에 대해 다룬 적이 있으며, 똑같은 책에 등장한 시각화를 인용한 적이 있다. 1을 제외하고 바깥쪽에 수열 2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2를 쓰고, 그 밑에 연속한 같은 수에 해당하는 부분만큼 그 개수를 쓰는 것을 되풀이하면 어떤 층을 읽어도 같은 수열이 나오는 것을 표현한 것.

1은 흰색, 2를 검은색으로 칠하면 위와 같은 그림이 나타나게 되는데, 아래에 위치한 (에코백 도안으로도 나온) 그림에서 폐곡선 내부를 칠하면 같은 그림을 얻을 수 있다.

레카만 수열(Recamán sequence)은 a_0=0, a_{n-1}-n이 0 이하이거나 이전에 이미 수열에 등장한 적이 있으면 a_n=a_{n-1}+n, 아니면 a_n=a_{n-1}-n으로 정의되는 수열이다. 초기항은 0,1,3,6,2,7,…으로 등장함.

즉 수직선 상에서 1,2,3,4,…만큼 왼쪽 혹은 오른쪽으로 (위 아래 번갈아가며) 점프하는 식으로 그림으로 표현하는 것이 가능하며, 에코백 도안은 초항 몇 개에 대해 나타낸 그림을 45도 회전한 결과물이다.

아이젠슈타인 소수(Eisenstein prime)는 cube root of unity인 \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}와 정수 a,b에 대해 a+b\omega꼴의 대수적 정수들을 아이젠슈타인 정수라 부르는데, 이들중에서 unit과 자기 자신*unit들을 제외하고는 나누어 떨어지지 않는 것들을 뜻한다.

이 소수들을 복수평면 상에 나타내면 이런 그림이 나타나고 에코백에 나온 그림도 이것과 동일하다. 참고로 a+b\omega이 아이젠슈타인 소수임은 $3n-1$ 꼴의 소수(in \mathbb{Z})에 unit을 곱한 값이거나 a^2-ab+b^2이 소수(in \mathbb{Z})임과 동치이다.

멩거 스펀지(Menger sponge)는 정육면체 하나를 3*3*3으로 분할해 각 면의 “가운데”에 위치하는 블록들을 없애고, 남은 20개의 크기 1/3의 작은 정육면체들에 대해 또 같은 시행을 하는 것을 되풀이하여 얻어지는 프랙탈 도형.

이를 무한히 되풀이하여 얻은 프랙탈 도형은 약 2.727차원(하우스도르프 차원)이 되며 부피는 유한하나 겉넓이는 무한하게 된다. 에코백 그림은 앞에서 설명한 시행을 세 번 되풀이한 M_3의 그림.

파스칼의 삼각형(Pascal’s triangle)은 이항계수를 테이블로 나타낸 것으로 양 옆 끝은 1로 고정하고 위에 있는 연속한 두 항의 합을 밑에 써넣는 식으로 얻을 수 있다. 비교적 앞의 것들에 비하면 약간 유명하지 않을지.

수열들과 대수정수, 프랙탈, 조합론 등 여러 분야에서 시각화하기 좋은 아이템들을 잘 뽑아낸 굿즈라고 본다.

트윗 타래를 정리. (2018/04/01)

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