기어오는 혼돈 3-고정점

Li-Yorke 정리에 대한 Euler, Erdős의 글. Division by Zero에서도 다룬 적이 있다.

$I=[0,1]$ 에 대해 정의된 연속함수 $f:I \rightarrow I$를 본다. 이 때 만약 $f(x),f(f(x)),\ldots,f^{m-1}(x)$ 는 $x$ 가 아니지만 $f^m(x)=x$ 가 되는 $x\in I$ 를 $m$ -고정점이라고 부르도록 한다. 그러면 2-고정점이 있으면 1-고정점(즉 $f(x)=x$ 인 일반적인 의미의 고정점)이 존재한다는 것은 중간값 정리를 이용해 쉽게 구할 수 있다. (만약 $a$ 가 2-고정점이면 $b=f(a)$ 라 할 때 $a=f(b)$ 가 되고 일반성을 잃지 않고 $a<b$ 라 하면 $g(x)=x-f(x)$ 로 정의했을 때 $g(a)=a-b<0<b-a=g(b)$ 이므로 $g(x)=0$ 인 $x \in (a,b)$ 가 존재한다)

그러면 만약 3-고정점이 존재한다면 어떨까? 즉 $f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a$ 인 서로 다른 $a,b,c \in I$ 가 존재한다면 이것은 어떤 결론을 만들어낼 수 있을까. Li와 Yorke는 1975년 논문[1]에서, 3-고정점이 존재한다면 모든 $m \geq 1$ 에 대해 $m$ -고정점이 존재한다는 것을 증명했다. 그 증명은 [1]에서도 확인할 수 있고, 앞서 링크한 블로그 글에서도 간략히 요약된 증명을 확인할 수 있다.

이 정리 자체만으로도 충분히 흥미로운데, 실은 1964년 Sharkovskii는 더 일반적인 결과를 증명한 바가 있다. 그는 양의 정수에 다음과 같은 ordering을 줬다.

$3 \prec 5 \prec 7 \prec \cdots \prec 2 \cdot 3 \prec 2 \cdot 5 \prec 2 \cdot 7 \prec \cdots \prec 2^2 \cdot 3 \prec 2^2 \cdot 5 \prec \cdots \prec 2^3 \prec 2^2 \prec 2 \prec 1$

이렇게 ordering $\prec$ 을 정의하면, “ $m$ -고정점이 존재하면 $n$ -고정점이 존재한다”라는 명제가 성립함은 $m \prec n$ 과 동치라는 것을 증명했다. 앞에서의 예시들은 각각 $2 \prec 1$ , $3 \prec m$ 에 의해 성립했다는 것.[2]

트윗 타래를 정리. (2017/12/18)

https://t.co/erdX5v75Eg 3-고정점이 있는 I=[0,1]->I인 연속함수는 임의의 m>0에 대해 m-고정점이 있다는 Li-Yorke 정리에 대해. 증명은 기초적이라 이해하기 쉬움
— 유닼 (@udaqueness) December 19, 2017

References

[1] T. Li and J. A. Yorke, “Period Three Implies Chaos” The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10. (Dec., 1975), pp. 985-992. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.329.5038&rep=rep1&type=pdf

[2] O. M. Sharkovskii, “Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself”. Ukrainian Math. J. 16: 61–71. (1964)

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