다음 소수를 찾는 또 다른 방법 (2)

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최근 AMM에 또 다른 소수 생성식이 실렸다.[1] 어떤 상수 f_1=2.920050977316 \cdots를 잡으면, f_n=\lfloor f_{n-1} \rfloor (f_{n-1}-\lfloor f_{n-1} \rfloor+1)로 정의한 수열 f_n의 정수부 \lfloor f_n \rfloorn번째 소수 p_n이 된다는 것. 마치 특정 상수로부터 소수들만을 얻게 된다는 점에서 Mills’ theorem과 비슷하지만(“수학적으로 화수를 표현하는 특촬“에서 잠깐 소개된 적이 있다) 이전 글에서 소개한 정리처럼 모든 소수들을 순차적으로 찾을 수 있다는 점에서 차이가 있다.

수열 \displaystyle g_n = \sum_{k=1}^n \frac{p_k-1}{\prod_{i=1}^{k-1}p_i}은 증가수열인데, 버트란드 공준(Bertrand’s postulate)에 의하면 p_n \leq 2p_{n-1}-1이므로

\displaystyle \begin{aligned} g_n =& (p_1-1)+\frac{p_2-1}{p_1}+\frac{p_3-1}{p_1p_2}+ \cdots \\ \leq& (p_1-1)+\frac{2p_1-2}{p_1}+\frac{2p_2-2}{p_1p_2}+ \cdots \\ =& p_1-1+2-\frac{2}{p_1}+\frac{2}{p_1}-\frac{2}{p_1p_2}+\cdots=3 \end{aligned}

이 되어 상계를 가지게 되어 수렴하고 그 값은 3 이하여야 한다. 이 값은 2.920050977316…이 되는데, 바로 원래 문제에서 쓰고자 하는 그 상수이다.

f_1을 위의 값 \lim_{n \rightarrow \infty} g_n으로 정의하고,

\displaystyle f_n = (f_1 - g_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1}p_i = (p_n-1)+\frac{p_{n+1}-1}{p_n}+\frac{p_{n+2}-1}{p_n p_{n+1}} + \cdots

로 정의한다. 그러면 f_n = p_{n-1}(f_{n-1}-p_{n-1}+1)이 성립한다는 것을 알 수 있다. 한 편 위식에서 버트란드 공준에 의해 p_{n-1}<p_n \leq 2p_{n-1}-1이 성립하는 것에서 위에서와 비슷하게 부등식과 telescoping sum을 써서 p_n<f_n<p_n+1을 얻는다. 즉 \lfloor f_n \rfloor = p_n이 되고, 이 때문에 앞에서 얻은 f_n = p_{n-1}(f_{n-1}-p_{n-1}+1)에서 f_n=\lfloor f_{n-1} \rfloor (f_{n-1}-\lfloor f_{n-1} \rfloor+1)도 성립한다. 따라서 이렇게 잡은 수열 f_n이 곧 문제에서 잡은 그 수열과 일치하게 되어 증명이 끝난다.

References

[1] D. Fridman, J. Garbulsky, B. Glecer, J. Grime and M. T. Florentin, “A Prime-Representing Constant” The American Mathematical Monthly, 126:1, 70-73, 2019. DOI: 10.1080/00029890.2019.1530554

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