좀 더 높은 차원에서, Monge의 정리

평면 위에 세 개의 원이 있어 그들 중 어떻게 두 원을 잡아도 두 공통외접선이 한 점에서 만난다고 한다. 이 때 이 세 개의 교점들은 한 직선 위에 있다.

Monge의 정리, 혹은 Monge-d’Alembert의 정리로 알려진 문제이다. 사영기하나 메넬라우스의 정리 등을 이용해 풀 수 있으나, 여기에서는 더 간단한 증명을 보도록 한다.

먼저 이 평면 가 공간 상에 주어져있다고 생각하고, 각각의 원을 라 두고 와 같은 중심과 반지름을 갖는 구 를 잡는다. (즉, 는 의 대원이 된다) 그러면 세 개의 구가 등장하는데, 이 때 반드시 어떤 평면 가 있어 세 구가 모두 와 접하며 세 구가 에 대해 같은 편에 놓이게 할 수 있다. (이는 한 평면을 두 구와 접한 상태를 유지하면서 움직이다보면 찾을 수 있다)

한 편, 를 의 공통외접선의 교점이라 두면 는 와 접하는 임의의 평면 위에 있어야 한다. (그런 평면들 중 와 수직인 평면 를 잡으면 가 위에 있는 것은 쉽게 확인할 수 있는데, 다른 와 접하는 평면들은 두 원의 중심을 연결한 직선에 대해 를 회전함으로써 얻을 수 있으므로 모두 를 지난다) 따라서 는 위에도 있어야 하고, 마찬가지로 다른 두 교점을 이라 하면 모두 위에 있어야만 한다. 그런데 서로 다른 두 평면의 교집합은 공집합 혹은 교선이며, 이미 이 교집합의 원소임에서 공집합은 아니므로 두 평면은 한 직선에서 만나야 해 은 이 교선 위에 있게 되어 증명이 끝난다.

Monge의 정리의 한 배리에이션으로, 두 쌍에 대해선 공통내접선의 교점, 한 쌍에 대해선 공통외접선의 교점을 잡으면 이 세 교점이 한 직선 위에 있다는 결과가 있다. 이도 앞에서의 아이디어와 비슷하게 증명할 수 있다.

본질적으로 공통외접선의 교점이란, 그 점을 중심으로 평면을 양의 실수배로 확대/축소변환(homothety)을 헀을 때 한 원이 다른 원으로 대응되는 점, 즉 두 원의 닮음의 중심이라 할 수 있다. 이를 homothetic center라 하며, 두 원의 공통외접선을 그릴 수 없는 경우 (한 원이 다른 원 내부에 있는 경우) 역시 그 중심을 구할 수 있다. 공통외접선의 교점 대신 homothetic center를 잡는다면 이런 일반적인 경우들에 대해서도 같은 결론을 얻을 수 있으며, 이쪽은 데자르그의 정리나 메넬라우스의 정리로 쉽게 증명할 수 있다. 또한 공통내접선의 교점은 음의 실수배로 확대/축소하는 homothety의 중심으로 볼 수 있으며, 앞서 이야기한 배리에이션 역시 이렇게 일반화할 수 있다.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2017/07/25)

34. 평면 위에 세 개의 원이 있어 그들 중 어떻게 두 원을 잡아도 두 공통외접선이 한 점에서 만난다고 한다. 이 때 이 세 개의 교점들은 한 직선 위에 있다. pic.twitter.com/rIbskvEsnF

— Elegant Math (@elegant_math) July 25, 2017