2019 일본 수학 올림피아드

일본 수학 올림피아드 재단 홈페이지에 올라온 2019년 본선 문제. 2월 11일 치러졌으며 시험 시간은 4시간.

Source: http://www.imojp.org/challenge/old/jmo29mq.html

$a^2+b+3=(b^2-c^2)^2$ 를 만족시키는 양의 정수쌍 $(a,b,c)$ 를 모두 구하여라.
을 3 이상의 홀수라고 하자. 모양의 칸을 이용해 게임을 하려고 한다. 이 게임은 총 턴으로 이루어지며, 각 턴마다 다음 시행을 순서대로 행한다. 게임이 끝났을 때 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하여라.
- 정수가 써있지 않은 칸을 하나 골라 1 이상 $n^2$ 이하의 정수를 하나 써넣는다. 각각의 정수는 게임을 통틀어 한 번까지만 쓸 수 있다.
- 그 칸을 포함하는 행과 열 각각에 대해, 써있는 정수의 합이 $n$ 의 배수라면 1점을 얻는다. 만약 행과 열 둘 다 $n$ 의 배수라면 2점을 얻는다.
임의의 양의 실수 $x,y$ 에 대해 $\displaystyle f \left( \frac{f(y)}{f(x)} + 1 \right) = f \left( x + \frac{y}{x}+1 \right) - f(x)$ 가 성립하게 하는 함수 $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ 를 모두 구하여라. 단, $\mathbb{R}^+$ 는 양의 실수 전체의 집합이다.
삼각형 $ABC$ 의 내심을 $I$ , 내접원을 $\omega$ 라고 하자. 또한 변 $BC$ 의 중점을 $M$ 이라 한다. 점 $A$ 를 지나고 직선 $BC$ 와 수직인 직선과, 점 $M$ 을 지나고 직선 $AI$ 와 수직인 직선의 교점을 $K$ 라 할 때, 선분 $AK$ 를 지름으로 갖는 원은 $\omega$ 와 접함을 보여라.
양의 정수로 이루어진 집합 에 대해, 서로 다른 의 원소 를 어떻게 뽑더라도 그 중 적어도 하나가 의 약수일 경우 를 아름다운 집합이라고 부르도록 한다. 다음 조건을 만족시키는 정수 이 존재함을 보이고, 그러한 의 최솟값을 구하여라.
- 임의의 아름다운 집합 $S$ 에 대해서 2 이상의 정수 $n_S$ 가 존재하여, $n_S$ 의 배수가 아닌 $S$ 의 원소의 개수가 $N$ 이하가 되게 할 수 있다.