2019 일본 수학 올림피아드

일본 수학 올림피아드 재단 홈페이지에 올라온 2019년 본선 문제. 2월 11일 치러졌으며 시험 시간은 4시간.

  1. a^2+b+3=(b^2-c^2)^2를 만족시키는 양의 정수쌍 (a,b,c)를 모두 구하여라.
  2. n을 3 이상의 홀수라고 하자. n \times n 모양의 칸을 이용해 게임을 하려고 한다. 이 게임은 총 n^2턴으로 이루어지며, 각 턴마다 다음 시행을 순서대로 행한다. 게임이 끝났을 때 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하여라.
    • 정수가 써있지 않은 칸을 하나 골라 1 이상 n^2 이하의 정수를 하나 써넣는다. 각각의 정수는 게임을 통틀어 한 번까지만 쓸 수 있다.
    • 그 칸을 포함하는 행과 열 각각에 대해, 써있는 정수의 합이 n의 배수라면 1점을 얻는다. 만약 행과 열 둘 다 n의 배수라면 2점을 얻는다.
  3. 임의의 양의 실수 x,y에 대해 \displaystyle f \left( \frac{f(y)}{f(x)} + 1 \right) = f \left( x + \frac{y}{x}+1 \right) - f(x)가 성립하게 하는 함수 f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+를 모두 구하여라. 단, \mathbb{R}^+는 양의 실수 전체의 집합이다.
  4. 삼각형 ABC의 내심을 I, 내접원을 \omega라고 하자. 또한 변 BC의 중점을 M이라 한다. 점 A를 지나고 직선 BC와 수직인 직선과, 점 M을 지나고 직선 AI와 수직인 직선의 교점을 K라 할 때, 선분 AK를 지름으로 갖는 원은 \omega와 접함을 보여라.
  5. 양의 정수로 이루어진 집합 S에 대해, 서로 다른 S의 원소 x,y,z를 어떻게 뽑더라도 그 중 적어도 하나가 x+y+z의 약수일 경우 S를 아름다운 집합이라고 부르도록 한다. 다음 조건을 만족시키는 정수 N이 존재함을 보이고, 그러한 N의 최솟값을 구하여라.
    • 임의의 아름다운 집합 S에 대해서 2 이상의 정수 n_S가 존재하여, n_S의 배수가 아닌 S의 원소의 개수가 N 이하가 되게 할 수 있다.

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