오버킬

StackExchange에서 간단한 명제를 쓸데없이 복잡하게 증명하는 것에 대한 스레드가 있다. 예컨대 \sqrt[n]{2}가 무리수임을 보이기 위해 페르마의 마지막 정리를 이용한다든지… 그 외에도 공부하다보면 간혹 새로 배우는 개념을 통해 이전의 결과가 약간 nontrivial하더라도 유도되는 경우가 있는데 그런 경우들을 연상시키는 예들도 언급된다.

테런스 타오도 메져 띠오리 수업에 등장했던 한 가지 예시를 올렸다. 만약 조화급수 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}이 수렴한다면 f_n = \frac{1}{n} 1_{[0,n]}(구간 [0,n]에서는 1, 그 외에서는 0으로 정의되는 함수)는, 임의의 양의 정수 i에 대해 [i-1,i)에서 1/i로 정의되는 absolutely integrable 함수 f에 dominate되고, dominated convergence theorem에 의해 f_n들의 적분과 극한은 교환해도 값이 변하지 않아야 하는데

\displaystyle 0 = \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) dx = 1

이 되어 모순을 얻는다. 따라서 조화급수는 발산함.

한 편 한 리플에서는 아래와 같은 이야기가 언급된다. 1969년 책 “Studies In Number Theory”의 “Diophantine equations: p-adic methods”란 글에서 D. J. Lewis는 x^3-117y^3 = 5의 정수해의 개수는 최대 18개라는 것을 증명 없이 소개했다. 이에 대해 Finkelstein과 London은 다음과 같이 \mathbb{Q}(\sqrt[3]{117})에서 norm이 5인 정수가 없음을 보여, x^3+117y^3=5의 정수해가 없음을 보였다.[1]

그리고 2년 뒤 Valeriu St. Udrescu가 이 식을 mod 9로 보면 x^3 \equiv 5가 되어 정수해가 없음을 증명했다…

트윗 타래를 정리. (2019/02/24)

References

[1] R. Finkelstein and H. London, “On D. J. Lewis’s equation x^3+117y^3=5Canad. Math. Bull., 14 (1971) 111.

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