시컨트 함수의 적분이 발견되기까지

미적분을 공부하는 대학생이라면 한 번은 마주쳤을 적분식 \displaystyle \int \sec(x) \text{dx} = \ln | \sec(x) + \tan(x) | + C. 이 식이 실은 메르카토르 도법이 디벨롭되는 과정에서 나온 부산물이었다는 내용이다. 이하 시컨트함수의 적분의 역사에 대한 원문[1]의 요약.

항해의 범위가 넓어짐에 따라, 지도를 위도와 경도가 동일한 간격을 갖도록 평면에 그리는 것에 어려움이 따르기 시작했다. 13세기 이후 항해에 나침반을 활용하기 시작했고, 나침반이 가리키는 특정한 방향을 따라 쭉 나아가는 진로를 항정선(rhumb, loxodrome)이라고 불렀으며 당시 항해사들은 지도 상에서 먼저 출발지와 도착지 사이의 직선을 그린 후 그를 기준 삼아서 방향을 잡곤 했다. 그러나 항정선은 지구 상에서 나선형을 그리고 지도 상에서는 직선이 아닌 곡선으로 나타나기 때문에 어려움을 겪었고, 이 항정선이 직선으로 나타나는 지도를 원했다. 그래야 지도 상에서 직선을 그리고나면 나침반을 이용해 그 방향으로 쭉 가기만 하면 됐기 때문에.

지구 상의 각도가 지도 상의 각도와 같도록 유지되도록 투영하는 것을 정각 투영이라고 하는데, 항정선이 직선이 되는 것과 각도가 유지되는 것이 동치임을 보일 수 있다. 1569년 메르카토르가 훗날 그의 이름을 따게 되는 정각 투영법 하나를 개발하게 된다. 그는 적도에서 멀어질 수록 위선의 간격이 조금씩 더 넓어지게끔 했는데, 구체적으로 어떻게 얼만큼 늘리는지에 대해서는 밝히지 않았고 1599년에야 에드워드 라이트(Edward Wright)가 수학적으로 설명할 수 있게 된다.

Source: [1]

먼저 위도가 \theta인 곳에서 위선의 길이 MNAB\cos{\theta}배가 되기 때문에, 지도 상에서 위선과 경선이 평행하게 나타나기 위해서는 MN의 길이가 AB의 길이와 같게 나와야 하므로 \sec{\theta}배로 늘어나야 한다. 또한, 위도가 \theta인 위선과 적도 사이의 지도 상의 거리를 D(\theta)라고 하면 dD = \sec{\theta} d \theta으로 뒀을 때 지구와 지도의 서로 매핑되는 직사각형 미소영역의 종횡비가 유지되어 등각성을 위배하지 않게 된다. 따라서

\displaystyle D(\theta) = \int_{0}^{\theta} \sec{\theta} d\theta

를 얻게 된다. 이로써 시컨트함수의 적분이 왜 메르카토르 도법과 연관이 있는지가 밝혀진 셈이다. 라이트는 $d \theta$를 1분으로 두고 위도가 75도일 때까지의 리만합을 계산하였다.

한 편 1614년 존 네이피어의 로그 함수에 대한 연구가 출판되었고 1616년 라이트에 의해 번역본이 출간된다. 여기에는 천문학자들을 위한 사인함수의 로그 값들로 이루어진 표가 수록되어 있었다. 1620년 에드문트 군터(Edmund Gunter)는 탄젠트함수의 로그 값들을 계산한 결과를 발표했고 이후 20년간 이런 탄젠트함수의 로그 값들로 이루어진 표가 여럿 출판되었다. 이런 분위기 속에서 1640년대 어느 날 헨리 본드(Henry Bond)는 라이트가 계산했던 D(\theta)의 값들이 탄젠트함수의 로그 값들과 매우 밀접한 관계가 있음을 눈치 채고, 1645년 D(\theta) = \ln |\tan(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})|이란 가설을 발표한다. 이 문제는 널리 알려져 17세기 중반의 주요 미해결제 중 하나였고, 이 때는 뉴튼과 라이프니츠의 미적분학이 발표되기도 전의 시기였다. 이후 아이작 배로우(Isaac Barrow) 등에 의해 이 식은 증명되었고, 그렇게 시컨트함수의 적분식이 밝혀지게 된 것이다.

References

[1] V. F. Rickey, P. M. Tuchinsky, “An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant” Mathematics Magazine, 1980 May; 53(3): 162-166. DOI: 10.2307/2690106

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