삼각형이 없는 픽의 정리

저번 포스팅인 12가 왜 거기서 나와에서 가장 기본이 되는 정리로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 등장했다. Restate하자면, 모든 꼭지점이 격자점인 격자다각형 $\mathcal{P}$ 에 대해 그 경계선에 있는 격자점의 갯수(꼭지점도 포함)를 $b$ , 내부에 있는 격자점의 갯수를 $i$ 라 하면 $\mathcal{P}$ 의 넓이는 $i+\frac{b}{2}-1$ 이 된다는 정리이다. 보통 이 정리의 증명으로, 격자다각형 내부의 격자점들을 이용해 triangulate, 즉 격자삼각형들로 분할하고 그 갯수가 일정하게 나온다는 사실을 이용해서 증명하고는 한다. 여기서는 Rovert Morelli의 논문[1]에 등장한 훨씬 간단한 증명을 소개하고자 한다.

먼저 평면 상의 한 다각형 $\mathcal{A}$ 에 대해, 그 경계나 내부에 포함되는 점에 대해선 1, 외부에 있는 점에 대해선 0으로 대응하는 함수 $1_{\mathcal{A}}$ 을 생각할 수 있다. 또한 이 다각형을 원점에 대해 점대칭시킨 도형을 $\tilde{\mathcal{A}}$ 로 쓰도록 하고, 벡터 $v$ 만큼 평행이동시킨 도형을 $\mathcal{A}_v$ 로 쓰도록 한다. 그러면 $\sum_{v \in \mathbb{Z}^2} 1_{\mathcal{P}_v} + \sum_{v \in \mathbb{Z}^2} 1_{\tilde{\mathcal{P}}_v}$ 라는 함수를 생각할 수 있다. ( $1_{\mathcal{A}}$ 는 support(함수값이 0이 아닌 점들의 집합)가 유계이므로 가능) 이 함수를 편의상 $f$ 로 두도록 한다.

그러면 $f$ 는, $\mathcal{P}, \tilde{\mathcal{P}}$ 의 변들의 평행이동에 해당하는 부분의 합집합 $\mathcal{E}$ 를 제외한 곳에서는 그 점을 포함하는 모든 평행이동된 $\mathcal{P}, \tilde{\mathcal{P}}$ 의 갯수임을 알 수 있다. 또한 이 값은 상수가 되어야 하는데, 이는 $\mathcal{E}$ 로 분할되는 각각의 영역 내에서는 임의의 점을 취해도 그 점을 포함하게 될 $\mathcal{P}_v$ , $\tilde{\mathcal{P}}_v$ 들이 일정하게 된다는 사실과, $\mathcal{E}$ 의 한 변 $e$ 에 대해 $e$ 포함하는 $\mathcal{P}_v$ 가 있을 때마다 그 변을 역시 포함하는 또 다른 $\tilde{\mathcal{P}}_{v^{\prime}}$ 이 존재한다는 사실(과 그 역)에 의해 얻을 수 있다. (점이 $e$ 를 가로지를 때 $\mathcal{P}_v$ 에서 $\tilde{\mathcal{P}}_{v^{\prime}}$ 으로 옮겨가거나 그 역이거나 둘 중 하나가 되어야 하므로 그 점을 덮는 평행이동된 다각형의 총 갯수가 유지된다) 그 상수를 $C$ 라 하면 단위정사각형 $[0,1]^2$ 에서의 $f$ 의 적분은 $C$ 가 나와야 하는데, 이 적분 값은 $\int_{\mathbb{R}^2} \left( 1_{\mathcal{P}} + 1_{\tilde{\mathcal{P}}} \right)$ 와 같아지므로 (다각형을 평행이동한 것이 $[0,1]^2$ 과 겹쳐지는 것이 곧 원래 다각형이 $[0,1]^2$ 의 평행이동과 겹쳐지는 것과 대응되므로) $\text{area}(\mathcal{P}) + \text{area}(\tilde{\mathcal{P}})$ 와도 같아져 $C = 2\text{area}(\mathcal{P})$ 를 얻는다.

한 편, 이번에는 격자점 $X$ 에 대해 $\angle_{\mathcal{P}}(X)$ 를, $X$ 를 포함하는 충분히 작은 원에 대해 그 원과 $\mathcal{P}$ 의 교집합은 부채꼴이 될 때 그 부채꼴의 중심각으로 정의한다. 그러면 $\mathcal{P}$ 내부에 있는 격자점은 $2\pi$ , 변 위에 있는 꼭지점이 아닌 격자점은 $\pi$ 가 됨을 알 수 있고 꼭지점의 경우 $\mathcal{P}$ 의 해당 내각이 됨을 알 수 있다. 따라서 $\angle_{\mathcal{P}}$ 의 총합은 $(i + \frac{b}{2} - 1) \cdot 2\pi$ 가 된다. 이제 충분히 작은 $\epsilon$ 을 잡아 각 격자점을 중심으로 하는 반지름 $\epsilon$ 인 원과 $\mathcal{P}$ 의 교집합이 부채꼴이 되게 할 수 있는데, 이에 따라 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\epsilon$ 인 원 위에서의 $f$ 의 적분값은 $\sum_{X \in \mathbb{Z}^2} \epsilon^2 \angle_{\mathcal{P}}(X) = (2i + b - 2) \epsilon^2\pi$ 가 된다. 그런데 그 적분 값은 $C \epsilon^2\pi$ 와도 같아져야 하므로 $C = 2i + b - 2$ 을 얻는다.