삼각형이 없는 픽의 정리

저번 포스팅인 12가 왜 거기서 나와에서 가장 기본이 되는 정리로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 등장했다. Restate하자면, 모든 꼭지점이 격자점인 격자다각형 \mathcal{P}에 대해 그 경계선에 있는 격자점의 갯수(꼭지점도 포함)를 b, 내부에 있는 격자점의 갯수를 i라 하면 \mathcal{P}의 넓이는 i+\frac{b}{2}-1이 된다는 정리이다. 보통 이 정리의 증명으로, 격자다각형 내부의 격자점들을 이용해 triangulate, 즉 격자삼각형들로 분할하고 그 갯수가 일정하게 나온다는 사실을 이용해서 증명하고는 한다. 여기서는 Rovert Morelli의 논문[1]에 등장한 훨씬 간단한 증명을 소개하고자 한다.

먼저 평면 상의 한 다각형 \mathcal{A}에 대해, 그 경계나 내부에 포함되는 점에 대해선 1, 외부에 있는 점에 대해선 0으로 대응하는 함수 1_{\mathcal{A}}을 생각할 수 있다. 또한 이 다각형을 원점에 대해 점대칭시킨 도형을 \tilde{\mathcal{A}}로 쓰도록 하고, 벡터 v만큼 평행이동시킨 도형을 \mathcal{A}_v로 쓰도록 한다. 그러면 \sum_{v \in \mathbb{Z}^2} 1_{\mathcal{P}_v} + \sum_{v \in \mathbb{Z}^2} 1_{\tilde{\mathcal{P}}_v}라는 함수를 생각할 수 있다. (1_{\mathcal{A}}는 support(함수값이 0이 아닌 점들의 집합)가 유계이므로 가능) 이 함수를 편의상 f로 두도록 한다.

그러면 f는, \mathcal{P}, \tilde{\mathcal{P}}의 변들의 평행이동에 해당하는 부분의 합집합 \mathcal{E}를 제외한 곳에서는 그 점을 포함하는 모든 평행이동된 \mathcal{P}, \tilde{\mathcal{P}}의 갯수임을 알 수 있다. 또한 이 값은 상수가 되어야 하는데, 이는 \mathcal{E}로 분할되는 각각의 영역 내에서는 임의의 점을 취해도 그 점을 포함하게 될 \mathcal{P}_v, \tilde{\mathcal{P}}_v들이 일정하게 된다는 사실과, \mathcal{E}의 한 변 e에 대해 e 포함하는 \mathcal{P}_v가 있을 때마다 그 변을 역시 포함하는 또 다른 \tilde{\mathcal{P}}_{v^{\prime}}이 존재한다는 사실(과 그 역)에 의해 얻을 수 있다. (점이 e를 가로지를 때 \mathcal{P}_v에서 \tilde{\mathcal{P}}_{v^{\prime}}으로 옮겨가거나 그 역이거나 둘 중 하나가 되어야 하므로 그 점을 덮는 평행이동된 다각형의 총 갯수가 유지된다) 그 상수를 C라 하면 단위정사각형 [0,1]^2에서의 f의 적분은 C가 나와야 하는데, 이 적분 값은 \int_{\mathbb{R}^2} \left( 1_{\mathcal{P}} + 1_{\tilde{\mathcal{P}}} \right)와 같아지므로 (다각형을 평행이동한 것이 [0,1]^2과 겹쳐지는 것이 곧 원래 다각형이 [0,1]^2의 평행이동과 겹쳐지는 것과 대응되므로) \text{area}(\mathcal{P}) + \text{area}(\tilde{\mathcal{P}})와도 같아져 C = 2\text{area}(\mathcal{P})를 얻는다.

한 편, 이번에는 격자점 X에 대해 \angle_{\mathcal{P}}(X)를, X를 포함하는 충분히 작은 원에 대해 그 원과 \mathcal{P}의 교집합은 부채꼴이 될 때 그 부채꼴의 중심각으로 정의한다. 그러면 \mathcal{P} 내부에 있는 격자점은 2\pi, 변 위에 있는 꼭지점이 아닌 격자점은 \pi가 됨을 알 수 있고 꼭지점의 경우 \mathcal{P}의 해당 내각이 됨을 알 수 있다. 따라서 \angle_{\mathcal{P}}의 총합은 (i + \frac{b}{2} - 1) \cdot 2\pi가 된다. 이제 충분히 작은 \epsilon을 잡아 각 격자점을 중심으로 하는 반지름 \epsilon인 원과 \mathcal{P}의 교집합이 부채꼴이 되게 할 수 있는데, 이에 따라 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \epsilon인 원 위에서의 f의 적분값은 \sum_{X \in \mathbb{Z}^2} \epsilon^2 \angle_{\mathcal{P}}(X) = (2i + b - 2) \epsilon^2\pi가 된다. 그런데 그 적분 값은 C \epsilon^2\pi와도 같아져야 하므로 C = 2i + b - 2을 얻는다.

따라서 두 식에 의해 픽의 정리가 증명된다.

References

[1] R. Morelli, “Pick’s theorem and the Todd class of a toric variety” Advances in Mathematics 100, 183-231 (1993). DOI: 10.1006/AIMA.1993.1033

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