Applied Inversive Geometry

수학 올림피아드 현역 선수 시절에 반전기하(inversive geometry)란걸 접한 적이 있었다. 평면 위에서 정의되는 매핑 반전의 여러 재미있는 성질들을 이용해, 특정 기하 문제들을 풀 때 매우 의외의 해법을 주는 도구 중 하나였다. 평면 상에서 점 를 중심으로 하는 반지름 의 원이 주어져 있으면 같은 평면 상의 점 를 을 만족시키는 반직선 상의 점 으로 대응시킬 수 […]

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수학 애호가들이 미로를 푸는 법

트위터 계정 mathlava에서는 비교적 간단한 물음에 수학적인 원리가 숨어있으면서도 기상천외한 방법으로 답하는 답안을 자주 모집하곤 한다. 이러한 답안들을 모아 책도 발간했는데 최근 한국어판으로도 정발되었다. 가장 유명한 아웃풋으로는 아래와 같은 원의 삼등분 문제가 있다. 최근에는 미로를 푸는 방법의 다양한 해법을 모집했는데, 주제가 주제이다보니 원리보다는 시각화에 초점을 맞춘 경우가 많았다. 주제를 올리기 전에 올라온 트윗인데, 사실 벼락이 […]

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Summer of Math Exposition

작년 여름, 유명 수학 유튜버 3B1B가 더 많은 사람들의 수학적 직관을 자극시키는 영상들을 올릴 수 있도록 장려하기 위해 Summer of Math Exposition, 해쉬태그로 줄여서 #SoME1을 개최했고 그 결과 수많은 사람들이 각자 서로 다른 주제들로 재미있는 영상들을 올렸다. 덕분에 이것저것 재미있는 영상들을 볼 수 있었는데, 올해 그 2탄인 #SoME2가 진행되고 있어 다시 비슷한 영상들이 올라오고 있다. […]

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삼각함수 테일러 전개의 기하학적 증명

최근 Manim을 이용한 3B1B 스타일의 수학 영상들을 주로 올리는 채널 Mathemaniac이 올린 영상. 말 그대로, 싸인 함수나 코싸인 함수와 같은 삼각함수의 테일러 전개가 왜 성립하는지를 기하학적으로 설명하는 영상이다. 비록 기하학적 직관을 위해 약간의 갭은 있지만 충분히 엄밀하게 완성시킬 수 있을 정도의 논의가 포함되어 있다. 1930년대 러시아의 수학 교사 Y. S. Chaikovsky가 발견하였고 후에 1996년 AMM을 […]

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arcsin과 central binomial coefficients

트친이신 덱스터 님께서 계산하신 의 생성함수. 그 결과 식은 로 쓸 수 있음을 증명하셨고 그 과정은 블로그 포스팅에 남기셨다. 생성함수를 다룰 때 그 탐색 과정이 보통 먼저 간단하게 정리하고 어떤 변수에 대한 power series로 만들지를 잡은 후 생성함수의 합이나 곱 같은 꼴에서 시작해 합성함수, 역함수와 같은 꼴이 되는지를 탐색하고, 미분과 적분이 도입될 수밖에 없는 경우 […]

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패미컴 연사 패드가 힘을 숨김

평소 구독하고 있는 유튜브 채널 중 4ST란 채널이 있다. 패미컴과 같은 일본의 고전 콘솔 관련 컨텐츠를 주로 올리는 유튜버로, 패미컴 게임 바이너리 틈새로 숨겨져있는 개발자의 메세지를 다루는 영상 등을 올린 적이 있다. 이 채널에서 얼마 전 패미컴 연사 패드들의 실제 연사 성능을 벤치마킹하는 영상을 올렸다. 슈팅게임이나 액션 아케이드 게임이 많이 나오던 80년대, 순정 패드로는 버튼을 […]

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삼각형이 없는 픽의 정리

저번 포스팅인 12가 왜 거기서 나와에서 가장 기본이 되는 정리로 픽의 정리(Pick’s theorem)가 등장했다. Restate하자면, 모든 꼭지점이 격자점인 격자다각형 에 대해 그 경계선에 있는 격자점의 갯수(꼭지점도 포함)를 , 내부에 있는 격자점의 갯수를 라 하면 의 넓이는 이 된다는 정리이다. 보통 이 정리의 증명으로, 격자다각형 내부의 격자점들을 이용해 triangulate, 즉 격자삼각형들로 분할하고 그 갯수가 일정하게 나온다는 사실을 이용해서 증명하고는 한다. 여기서는 […]

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12가 왜 거기서 나와

오랜만에 폴리매스에 들렀다가 재미있어 보이는 문제를 발견했다. 직접 풀어보니 elementary하게 보일 수 있으며 이전에 봤던 것들과 직접적으로 연관이 있는 부분이 많길래 포스팅하기로. 라 하고 원점을 로 둔다. 그러면 임에서 삼각형 의 넓이는 임과, 세 꼭지점 는 시계반대방향으로 배치되어있음을 알 수 있다. 편의상 세 점이 이렇게 배치되면 반시계 삼각형이라 부르도록 한다. 그런데 격자삼각형 의 넓이가 1/2인 […]

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xMO 카페에 올라온 조합 문제들

오랜만에 xMO 카페에 들렀는데 조합 문제들 몇 가지가 소개된 글을 보게 되어 여기에서 그 문제들을 살펴보고자 한다. 1번은 Coupon collector’s problem으로도 알려져있는 문제이다. 처음으로 종류의 과자를 얻었을 때의 과자 수를 나타내는 random variable을 , 로 두면 () 구하고자 하는 것은 가 된다. 편의상 라 하면 이므로 답은 이 된다. Probabilistic method에서 자주 쓰이는 linearity of […]

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빈 그래프는 수형도인가

트위터에서 empty graph가 tree가 아닌 forest로 분류되어야하는지에 대한 이야기가 있었는데 (원본 트윗은 쓰신 분이 플텍 걸어놔서 보이지 않는다) 여러모로 봤을 때 forest로 보는 것이 타당하다. 이게 문제가 된 이유는 tree의 정의들을 생각해보면 ‘임의의 두 점이 정확히 한 개의 경로로 연결되는 그래프’, ‘연결되고 cycle이 없는 그래프’ 등이 있는데 전자 같은 경우 뽑을 두 점이 애초에 없으니 […]

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