여러 공리 식을 하나로 묶는 방법

John Baez 선생님 트위터에 올라온 이야기. 수학에서 lattice는 보통 집합과 두 연산 가 있어 위의 공리들을 만족시키는 대수적 오브젝트로 정의한다. 즉 두 연산은 교환법칙과 결합법칙을 성립시키며, 를 만족시킨다는 것. (흡수법칙) 집합의 합집합과 교집합 어낼로지나 논리학의 or/and 등을 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 lattice를 정의하기 위해선 6개의 식이 필요한데, 이를 단 한 개의 식으로 표현할 수 있는지에 […]

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2019 일본 수학 올림피아드

일본 수학 올림피아드 재단 홈페이지에 올라온 2019년 본선 문제. 2월 11일 치러졌으며 시험 시간은 4시간. 를 만족시키는 양의 정수쌍 를 모두 구하여라. 을 3 이상의 홀수라고 하자. 모양의 칸을 이용해 게임을 하려고 한다. 이 게임은 총 턴으로 이루어지며, 각 턴마다 다음 시행을 순서대로 행한다. 게임이 끝났을 때 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하여라. 정수가 […]

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주차 문제와 케일리의 공식, 그리고 조합적 증명

다음과 같은 상황을 생각한다. 대의 자동차들이 있고, 개의 주차 스팟 이 일렬로 주어져있다. 각각의 자동차마다 선호하는 주차스팟이 하나씩 있으며, 번째 자동차의 선호 스팟을 라 한다. 이 자동차들이 일렬로 들어가며 각각 차례로 원하는 스팟에 주차하되, 만약 그곳에 다른 차가 이미 있었다면 다음 스팟에 주차를 시도한다고 한다. (만약 다음 스팟에도 차가 있으면 그 다음 스팟을 보는 식) […]

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타나카 군은 진짜 白자를 만들었을까

“타나카 군은 항상 나른해”에서 타나카가 오셀로 게임을 이런 식으로 끝내는 장면이 있다. 흰 말로 白자를 만든 것인데 이게 오셀로의 legal move만으로 저렇게 만드는 것이 가능한지 궁금하다. 편의상 검은 말 플레이어도 이 글자를 만드는데 협조했다고 했을 때… 혹시나 싶어서 othello/reversi possible configurations/boards 같은거 검색해봐도 딱히 이렇다 싶은 결과물은 안 나옴. 그래서 궁금한 질문 몇 가지: 저 […]

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완전그래프의 완전이분그래프 분할문제

명의 사람들로 이루어진 눈싸움 동아리가 있다. 이 동아리는 하루에 한 번씩, 한 명 이상이 모인 팀 두 개를 결성해 서로 눈싸움을 한다고 한다. (하루에 전원이 참가할 필요는 없다) 총 일 동안 어떤 두 사람을 뽑아도 그들은 정확히 한 번 적으로서 눈싸움을 했다고 한다. 의 최솟값은? 비유하느라 약간 문제 설명이 길어졌는데, 간단히 표현하자면 완전그래프 (개의 꼭지점이 […]

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어떤 적분

다음 적분 값 은 정수이며, 의 값을 갖는다고 한다. (3139자리) 또한 이 값은 소수라고. David Broadhurst가 2001년 증명했다고 하는데, contour integral을 통해 이를 1814차 유리계수 다항식에 를 대입한 결과의 실수부임을 보여 정수임을 증명했고, 컴퓨터로 소수임을 확인했다고 한다. 트윗 타래를 정리. (2017/11/15)

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좀 더 높은 차원에서, Monge의 정리

평면 위에 세 개의 원이 있어 그들 중 어떻게 두 원을 잡아도 두 공통외접선이 한 점에서 만난다고 한다. 이 때 이 세 개의 교점들은 한 직선 위에 있다. Monge의 정리, 혹은 Monge-d’Alembert의 정리로 알려진 문제이다. 사영기하나 메넬라우스의 정리 등을 이용해 풀 수 있으나, 여기에서는 더 간단한 증명을 보도록 한다. 먼저 이 평면 가 공간 상에 […]

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