오버킬

StackExchange에서 간단한 명제를 쓸데없이 복잡하게 증명하는 것에 대한 스레드가 있다. 예컨대 가 무리수임을 보이기 위해 페르마의 마지막 정리를 이용한다든지… 그 외에도 공부하다보면 간혹 새로 배우는 개념을 통해 이전의 결과가 약간 nontrivial하더라도 유도되는 경우가 있는데 그런 경우들을 연상시키는 예들도 언급된다. 테런스 타오도 메져 띠오리 수업에 등장했던 한 가지 예시를 올렸다. 만약 조화급수 이 수렴한다면 (구간 에서는 […]

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전설적인 IMO 문제

양의 정수 가 있어 이 정수라면, 이 값은 완전제곱수이다. 1988년 호주에서 열린 IMO(국제수학올림피아드)의 6번 문제. IMO 역사에서 아직도 전설적인 문제로 남아있고, IMO 사상 가장 어려운 문제라고도 일컬어지고 있다. 단순히 정답률만 따지면 2017년 3번 문제가 가장 어려운 문제로 등극할 수도 있지만 (7명만이 1점 이상의 점수를 받았고 2명만이 7점 만점을 받았다) 위 문제의 경우 그와 관련된 아래의 […]

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조합적으로 증명하는 합동식

정수론의 기초에서 다뤄지는 여러 합동식들 중 조합적인 아이디어로 증명하는 것이 가능한 경우가 있다. 여기서 일부 그러한 증명들을 소개하고자 함. 먼저, 소수 와 정수 에 대해 가 성립한다는 페르마의 소정리를 조합적으로 보일 수 있다. 원 하나를 개의 동일한 부채꼴로 등분한다. 이 부채꼴들을 주어진 개의 색들로 칠한다면, 그 모든 경우의 수는 가 된다. 이 색칠된 결과는 크게 […]

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6k+1꼴 소수에 대한 문제

2010 USA IMO TST 9번 문제. 이 소수일 때, 이 가능한가? 당시 IMO 대표 학생들이랑 미국 TST 문제들 같이 접하고 풀었었는데, 저 문제만 못 풀고 있었던 차 심지어 실제로 시험을 치른 미국 학생들 중 꽤 많은 학생들이 풀었다는 이야기를 들어서 더더욱 멘붕했던 기억이 있다. 나중에 결국 답을 전해들었는데 듣고나니 정말 납득이 가는 풀이였고 그래서 더욱 […]

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다음 소수를 찾는 또 다른 방법

로 두고, 에 대해 의 최소의 소인수를 로 정의하면 는 크기 순으로 번째 소수가 된다는 내용. [1] 이는 양의 정수 에 대해 의 최소의 소인수는 의 소인수가 아닌 최소의 소수임을 보임으로써 증명할 수 있다. 인 경우는 자명하므로 라 가정하고 을 나누지 않는 최소의 소수를 라고 하고 의 소인수를 라고 둔다. 그러면 는 를 나누지 못하는 […]

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USAMO와 Hook-length formula

2016년 USAMO(미국 수학 올림피아드) 2번 문제. 임의의 양의 정수 에 대해, 이 정수임을 보여라. 유리식 형식으로 주어진 수가 정수임을 보이는 스탠다드한 정수론 문제로, 실제로 정수론적으로 푼다면 (임의의 소수 에 대해 분모와 분자의 를 계산하여 부등식을 이끌어내는 식. 위 링크 내의 첫 번째 풀이 참조) 2/5번 문제 포지션에 맞는 적절한 올림피아드 정수론 문제였어야했다. 그런데 이 문제가 […]

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