사상 최악의 일본 입시 수학 문제

구독중인 ‘타마키의 수학’ 유튜브 채널에 올라온 한 영상. 1998년 도쿄대 후기 이과 입시 문제로 나왔던 한 수학문제를 다루고 있는데, 그 악명높은 난이도로 인해 전설이 된 문제라고. 문제는 다음과 같다. 먼저 흰 점 한 개만 있는 그래프가 주어져있다. 여기서 말하는 그래프는 각각의 점에 흑과 백 두 색 중 하나를 칠한 단순그래프를 뜻한다. 이 때, 다음과 같은 […]

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주차 문제와 케일리의 공식, 그리고 조합적 증명

다음과 같은 상황을 생각한다. 대의 자동차들이 있고, 개의 주차 스팟 이 일렬로 주어져있다. 각각의 자동차마다 선호하는 주차스팟이 하나씩 있으며, 번째 자동차의 선호 스팟을 라 한다. 이 자동차들이 일렬로 들어가며 각각 차례로 원하는 스팟에 주차하되, 만약 그곳에 다른 차가 이미 있었다면 다음 스팟에 주차를 시도한다고 한다. (만약 다음 스팟에도 차가 있으면 그 다음 스팟을 보는 식) […]

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조합적으로 증명하는 삼각함수식

탄젠트와 시컨트의 정의만 알면 바로 증명되는 항등식인데 이것을 조합적으로 보일 수 있다. 그를 위해선 몇 가지 해석적인 작업이 조금 필요함. 일전에 “의 조합적 증명“에서 소개했던 교대순열이란게 있다. 교대순열은 를 만족시키는 순열. 부등호가 < > < > … 으로 정의되는 경우도 있으며 위 글 역시 그러한데, 여기서는 > < > < …으로 정의하고, < > < > […]

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조합적으로 증명하는 합동식

정수론의 기초에서 다뤄지는 여러 합동식들 중 조합적인 아이디어로 증명하는 것이 가능한 경우가 있다. 여기서 일부 그러한 증명들을 소개하고자 함. 먼저, 소수 와 정수 에 대해 가 성립한다는 페르마의 소정리를 조합적으로 보일 수 있다. 원 하나를 개의 동일한 부채꼴로 등분한다. 이 부채꼴들을 주어진 개의 색들로 칠한다면, 그 모든 경우의 수는 가 된다. 이 색칠된 결과는 크게 […]

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스즈미야 하루히의 증명

TVA “스즈미야 하루히의 우울”은 방영 에피소드 순서와 원반 매체에 수록된 순서가 달랐다. 후자는 원작의 순서를 따라 시계열에 따른 진행이었지만 전자는 그 순서를 셔플해버린 것. 이에 착안해 2011년 9월 13일 4chan의 한 유저가 과학과 수학을 다루는 /sci/ 게시판에 다음과 같은 질문을 던졌다. “「스즈미야 하루히의 우울」 1기 총 14화의 모든 가능한 순서가 각각 연속적으로 등장하도록 에피소드들을 배치한다면 […]

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순열의 wiring diagram과 사인파

가로 방향으로 놓여진 줄 총 개가 평행하게 세로로 나열되어있는 상태를 생각한다. 여기서 맨 왼쪽의 줄 끝들에 차례대로 을 대응시킨다. 이 때 각 줄을 따라가서 오른쪽 끝에 도달하면 각각 시작지점에 대응되어있던 수를 써넣는다. 맨 처음 상태라면 각각 오른쪽으로 쭉 이동할 뿐이므로, 그 결과는 위에서 아래로 이 차례대로 나올 것이다. 여기에서 두 인접한 줄을 X자로 교차하도록 꼬는 […]

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두 집합 사이의 거리에 대한 두 증명

두 유한집합 에 대해, 의 값을 다음과 같이 정의한다. (단 둘 다 공집합인 경우는 제외한다) 이 값은 두 집합 사이의 상관관계를 나타내는 척도가 된다. 예컨대 이면 0이 되고, 인 경우는 1이 되는 등, 상대적으로 겹치는 정도가 클 수록 0에 가까워져 일종의 거리처럼 생각할 수 있게 된다. 이것이 실제로 수학에서 정의되는 거리(metric)가 되려면 다음과 같은 삼각부등식이 […]

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