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수학 올림피아드 현역 선수 시절에 반전기하(inversive geometry)란걸 접한 적이 있었다. 평면 위에서 정의되는 매핑 반전의 여러 재미있는 성질들을 이용해, 특정 기하 문제들을 풀 때 매우 의외의 해법을 주는 도구 중 하나였다. 평면 상에서 점 를 중심으로 하는 반지름 의 원이 주어져 있으면 같은 평면 상의 점 를 을 만족시키는 반직선 상의 점 으로 대응시킬 수 […]
Read More Applied Inversive Geometry평면 위에 세 개의 원이 있어 그들 중 어떻게 두 원을 잡아도 두 공통외접선이 한 점에서 만난다고 한다. 이 때 이 세 개의 교점들은 한 직선 위에 있다. Monge의 정리, 혹은 Monge-d’Alembert의 정리로 알려진 문제이다. 사영기하나 메넬라우스의 정리 등을 이용해 풀 수 있으나, 여기에서는 더 간단한 증명을 보도록 한다. 먼저 이 평면 가 공간 상에 […]
Read More 좀 더 높은 차원에서, Monge의 정리평면 위에 두 개의 볼록다각형 가 있어 가 의 내부에 위치했을 때, 다각형 의 둘레의 길이를 라 하면 이다. 출처는 찾기 힘든 구전되는 문제. 직관적으로 생각하기 쉬운 여러 방법들로도 풀 수 있지만 (ex: A의 둘레를 증가시키며 크기를 적당히 늘리기) 다소 풀이가 복잡해지거나 더러워지기 쉬운데 매우 간결한 풀이들이 있다. 임의의 다각형 와 양의 실수에 대해, 내부와 […]
Read More 볼록다각형 내부의 볼록다각형
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