여러 공리 식을 하나로 묶는 방법

John Baez 선생님 트위터에 올라온 이야기. 수학에서 lattice는 보통 집합과 두 연산 가 있어 위의 공리들을 만족시키는 대수적 오브젝트로 정의한다. 즉 두 연산은 교환법칙과 결합법칙을 성립시키며, 를 만족시킨다는 것. (흡수법칙) 집합의 합집합과 교집합 어낼로지나 논리학의 or/and 등을 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 lattice를 정의하기 위해선 6개의 식이 필요한데, 이를 단 한 개의 식으로 표현할 수 있는지에 […]

2019 일본 수학 올림피아드

일본 수학 올림피아드 재단 홈페이지에 올라온 2019년 본선 문제. 2월 11일 치러졌으며 시험 시간은 4시간. 를 만족시키는 양의 정수쌍 를 모두 구하여라. 을 3 이상의 홀수라고 하자. 모양의 칸을 이용해 게임을 하려고 한다. 이 게임은 총 턴으로 이루어지며, 각 턴마다 다음 시행을 순서대로 행한다. 게임이 끝났을 때 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하여라. 정수가 […]

주차 문제와 케일리의 공식, 그리고 조합적 증명

다음과 같은 상황을 생각한다. 대의 자동차들이 있고, 개의 주차 스팟 이 일렬로 주어져있다. 각각의 자동차마다 선호하는 주차스팟이 하나씩 있으며, 번째 자동차의 선호 스팟을 라 한다. 이 자동차들이 일렬로 들어가며 각각 차례로 원하는 스팟에 주차하되, 만약 그곳에 다른 차가 이미 있었다면 다음 스팟에 주차를 시도한다고 한다. (만약 다음 스팟에도 차가 있으면 그 다음 스팟을 보는 식) […]

타나카 군은 진짜 白자를 만들었을까

“타나카 군은 항상 나른해”에서 타나카가 오셀로 게임을 이런 식으로 끝내는 장면이 있다. 흰 말로 白자를 만든 것인데 이게 오셀로의 legal move만으로 저렇게 만드는 것이 가능한지 궁금하다. 편의상 검은 말 플레이어도 이 글자를 만드는데 협조했다고 했을 때… 혹시나 싶어서 othello/reversi possible configurations/boards 같은거 검색해봐도 딱히 이렇다 싶은 결과물은 안 나옴. 그래서 궁금한 질문 몇 가지: 저 […]

완전그래프의 완전이분그래프 분할문제

명의 사람들로 이루어진 눈싸움 동아리가 있다. 이 동아리는 하루에 한 번씩, 한 명 이상이 모인 팀 두 개를 결성해 서로 눈싸움을 한다고 한다. (하루에 전원이 참가할 필요는 없다) 총 일 동안 어떤 두 사람을 뽑아도 그들은 정확히 한 번 적으로서 눈싸움을 했다고 한다. 의 최솟값은? 비유하느라 약간 문제 설명이 길어졌는데, 간단히 표현하자면 완전그래프 (개의 꼭지점이 […]

어떤 적분

다음 적분 값 은 정수이며, 의 값을 갖는다고 한다. (3139자리) 또한 이 값은 소수라고. David Broadhurst가 2001년 증명했다고 하는데, contour integral을 통해 이를 1814차 유리계수 다항식에 를 대입한 결과의 실수부임을 보여 정수임을 증명했고, 컴퓨터로 소수임을 확인했다고 한다. 트윗 타래를 정리. (2017/11/15)

좀 더 높은 차원에서, Monge의 정리

평면 위에 세 개의 원이 있어 그들 중 어떻게 두 원을 잡아도 두 공통외접선이 한 점에서 만난다고 한다. 이 때 이 세 개의 교점들은 한 직선 위에 있다. Monge의 정리, 혹은 Monge-d’Alembert의 정리로 알려진 문제이다. 사영기하나 메넬라우스의 정리 등을 이용해 풀 수 있으나, 여기에서는 더 간단한 증명을 보도록 한다. 먼저 이 평면 가 공간 상에 […]

전설적인 IMO 문제

양의 정수 가 있어 이 정수라면, 이 값은 완전제곱수이다. 1988년 호주에서 열린 IMO(국제수학올림피아드)의 6번 문제. IMO 역사에서 아직도 전설적인 문제로 남아있고, IMO 사상 가장 어려운 문제라고도 일컬어지고 있다. 단순히 정답률만 따지면 2017년 3번 문제가 가장 어려운 문제로 등극할 수도 있지만 (7명만이 1점 이상의 점수를 받았고 2명만이 7점 만점을 받았다) 위 문제의 경우 그와 관련된 아래의 […]

소수의 무한성

소수는 무수히 많이 존재한다. 정수론에서 가장 근본에 위치하는 기본적인 명제이면서 수학의 역사에서 가장 중요한 역할을 차지하는 결과물 중의 하나인 명제이다. 유클리드가 귀류법으로 증명한 이래 수많은 다양한 증명이 등장했는데, 피타고라스의 정리가 200가지가 넘는다해도 사실 많은 증명들은 다소 대동소이한 경우가 많은 반면 이쪽은 정말 그야말로 완벽히 다른 분야의 맥락에서 증명되는 경우도 많아 더 의미가 있다고 봄. 대부분 […]

다음 소수를 찾는 또 다른 방법 (2)

이전 글: (1) 최근 AMM에 또 다른 소수 생성식이 실렸다.[1] 어떤 상수 를 잡으면, 로 정의한 수열 의 정수부 은 번째 소수 이 된다는 것. 마치 특정 상수로부터 소수들만을 얻게 된다는 점에서 Mills’ theorem과 비슷하지만(“수학적으로 화수를 표현하는 특촬“에서 잠깐 소개된 적이 있다) 이전 글에서 소개한 정리처럼 모든 소수들을 순차적으로 찾을 수 있다는 점에서 차이가 있다. […]

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