반원 위에 있을 확률, 반구 위에 있을 확률

원 위에 임의로 균일하게 개의 점을 잡았을 때 그들이 한 반원 위에 있을 확률은? 브레인 티저로도 종종 쓰이는 유명한 문제. Bull이 1948년 Mathematical Gazette에 한 문제를 냈고[1], Rushton이 1949년 동지에 해당 문제를 이 문제로 변형하여 매우 간단한 증명을 내놓았다.[2] 먼저 개의 점을 이라 둔다. 원 위에서 에서 시작해 시계방향으로 움직여 의 반대쪽까지 움직이면서 지나게 되는 […]

랜덤 워드에서 특정 워드가 등장할 확률 (3)

이전 글: (1), (2) 이전 글에서는 알파벳 집합이 , 그 사이즈가 로 정해져있을 때 특정 워드 가 들어가지 않는 길이 의 워드 개수는 의 해들로 표현될 수 있음을 보였다. (은 의 길이, 는 의 순환주기) 이 특성방정식을 에 대해 미분한 식과 이 식이 공통근을 갖지 않으므로 중근이 없어, 더 정확히 말하자면 이 해들의 거듭제곱의 선형합이라 […]

조합적으로 증명하는 삼각함수식

탄젠트와 시컨트의 정의만 알면 바로 증명되는 항등식인데 이것을 조합적으로 보일 수 있다. 그를 위해선 몇 가지 해석적인 작업이 조금 필요함. 일전에 “의 조합적 증명“에서 소개했던 교대순열이란게 있다. 교대순열은 를 만족시키는 순열. 부등호가 < > < > … 으로 정의되는 경우도 있으며 위 글 역시 그러한데, 여기서는 > < > < …으로 정의하고, < > < > […]

조합적으로 증명하는 합동식

정수론의 기초에서 다뤄지는 여러 합동식들 중 조합적인 아이디어로 증명하는 것이 가능한 경우가 있다. 여기서 일부 그러한 증명들을 소개하고자 함. 먼저, 소수 와 정수 에 대해 가 성립한다는 페르마의 소정리를 조합적으로 보일 수 있다. 원 하나를 개의 동일한 부채꼴로 등분한다. 이 부채꼴들을 주어진 개의 색들로 칠한다면, 그 모든 경우의 수는 가 된다. 이 색칠된 결과는 크게 […]

기어오는 혼돈 3-고정점

Li-Yorke 정리에 대한 Euler, Erdős의 글. Division by Zero에서도 다룬 적이 있다. 에 대해 정의된 연속함수 $f:I \rightarrow I$를 본다. 이 때 만약 는 가 아니지만 가 되는 를 -고정점이라고 부르도록 한다. 그러면 2-고정점이 있으면 1-고정점(즉 인 일반적인 의미의 고정점)이 존재한다는 것은 중간값 정리를 이용해 쉽게 구할 수 있다. (만약 가 2-고정점이면 라 할 때 […]

스즈미야 하루히의 증명

TVA “스즈미야 하루히의 우울”은 방영 에피소드 순서와 원반 매체에 수록된 순서가 달랐다. 후자는 원작의 순서를 따라 시계열에 따른 진행이었지만 전자는 그 순서를 셔플해버린 것. 이에 착안해 2011년 9월 13일 4chan의 한 유저가 과학과 수학을 다루는 /sci/ 게시판에 다음과 같은 질문을 던졌다. “「스즈미야 하루히의 우울」 1기 총 14화의 모든 가능한 순서가 각각 연속적으로 등장하도록 에피소드들을 배치한다면 […]

랜덤 워드에서 특정 워드가 등장할 확률 (2)

이전 글 “랜덤 워드에서 특정 워드가 등장할 확률“이 수학동아의 폴리매스 프로젝트에 링크된 것을 확인했다. 국가수리과학연구소의 2번째 문제의 추가 문제 2번 문제가 다음과 같다고 한다. 길이 짜리 단어 하나가 금칙어로 지정되었을 때, 길이 짜리 단어 중 이를 포함하지 않는 것의 개수를 이라고 합시다. 이 고정되어 있을 때, 이 무한대로 갈 때 의 극한이 최대/최소가 되는 은 […]

네 말을 듣고 나니 답을 알겠어

올리버 “내가 방금 이며 인 두 정수 를 잡았어. 샘에게는 합을, 피터에게는 곱을 알려줄테니 맞춰봐.” 샘 “피터는 답을 모를거야.” 피터 “네 말을 듣고나니 답을 알겠어.” 샘 “나도 이제 답을 알겠어.” 이 때 의 값은 무엇인가? 단, 샘과 피터는 논리적으로 완벽하게 논증해낸 결과들만을 이야기했다. 논리학자들이 나와 대화를 하면서 “네 말을 듣고 알았다”란 식의 정보를 주고 받는 […]

알라딘의 수학 굿즈

지난 2018년 4월 과학의 달을 맞이해서 개최되었던 알라딘의 수학 그래픽 에코백 5종 이벤트. 다섯 가지 수학적 시각화 이미지를 담고 있으며, 알렉스 벨로스와 에드먼드 해리스의 “수학으로 만나는 세계“에서 발췌했다고 한다. 콜라코스키 수열(Kolakoski suquence)은 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,…로 시작하는 수열로, 이 수열에서 등장하는 연속한 같은 수의 개수를 세어서 차례로 수열을 만들어도 이 수열과 똑같아지는 특징을 갖는다. (나름 OEIS에서 아이디 A000002를 […]

평면의 채색수

평면을 색 몇 개를 이용해 칠하되, 거리가 1인 어떤 두 점도 서로 다른 색이 되도록 칠하려고 할 때 필요한 색의 개수의 최솟값은? Hadwiger-Nelson problem으로 알려진 조합기하 문제이다. 여기서 따지고 있는 필요한 색의 개수의 최솟값 는 평면의 채색수(chromatic number)라 불린다. 평면을 위 그림처럼 7개의 색을 가진 육각형들로 타일링함으로써, 7개의 색만으로 조건을 만족시키게 하는 것이 가능함을 보일 […]

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