순열의 wiring diagram과 사인파

가로 방향으로 놓여진 줄 총 개가 평행하게 세로로 나열되어있는 상태를 생각한다. 여기서 맨 왼쪽의 줄 끝들에 차례대로 을 대응시킨다. 이 때 각 줄을 따라가서 오른쪽 끝에 도달하면 각각 시작지점에 대응되어있던 수를 써넣는다. 맨 처음 상태라면 각각 오른쪽으로 쭉 이동할 뿐이므로, 그 결과는 위에서 아래로 이 차례대로 나올 것이다. 여기에서 두 인접한 줄을 X자로 교차하도록 꼬는 […]

볼록다각형 내부의 볼록다각형

평면 위에 두 개의 볼록다각형 가 있어 가 의 내부에 위치했을 때, 다각형 의 둘레의 길이를 라 하면 이다. 출처는 찾기 힘든 구전되는 문제. 직관적으로 생각하기 쉬운 여러 방법들로도 풀 수 있지만 (ex: A의 둘레를 증가시키며 크기를 적당히 늘리기) 다소 풀이가 복잡해지거나 더러워지기 쉬운데 매우 간결한 풀이들이 있다. 임의의 다각형 와 양의 실수에 대해, 내부와 […]

6k+1꼴 소수에 대한 문제

2010 USA IMO TST 9번 문제. 이 소수일 때, 이 가능한가? 당시 IMO 대표 학생들이랑 미국 TST 문제들 같이 접하고 풀었었는데, 저 문제만 못 풀고 있었던 차 심지어 실제로 시험을 치른 미국 학생들 중 꽤 많은 학생들이 풀었다는 이야기를 들어서 더더욱 멘붕했던 기억이 있다. 나중에 결국 답을 전해들었는데 듣고나니 정말 납득이 가는 풀이였고 그래서 더욱 […]

두 집합 사이의 거리에 대한 두 증명

두 유한집합 에 대해, 의 값을 다음과 같이 정의한다. (단 둘 다 공집합인 경우는 제외한다) 이 값은 두 집합 사이의 상관관계를 나타내는 척도가 된다. 예컨대 이면 0이 되고, 인 경우는 1이 되는 등, 상대적으로 겹치는 정도가 클 수록 0에 가까워져 일종의 거리처럼 생각할 수 있게 된다. 이것이 실제로 수학에서 정의되는 거리(metric)가 되려면 다음과 같은 삼각부등식이 […]

피자 정리의 그림 한 장짜리 증명

원형의 피자 위에 한 점을 임의로 잡고 그 점을 지나는 사이각이 45도인 직선 네 개를 임의로 그어 피자를 8조각으로 나눈다. 두 사람이 번갈아가며 한 조각씩 먹었을 때, 둘이 먹은 부분의 넓이는 서로 같다. “피자 정리”로 알려진 문제. Upton이 1967년 Mathematics Magazine의 문제 코너에 출제했으며, 8 대신 8 이상의 4의 배수로 바꿔도 성립한다. Carter와 Wagon이 1994년 […]

털난 공 정리의 간단한 증명

Hairy ball theorem이란 대수위상의 유명한 정리가 있는데, 구면 상의 각 점마다 그 구면에 접하는 벡터의 값을 갖도록 연속함수를 잡되 영벡터가 되지 않게 잡을 수 없다는 것. (no nonvanishing continuous tangent vector field) 보통 머리카락의 가마를 예시로 잡는데, 면 전체에 털이 나있는 구면을 빗질하면 반드시 가마가 생긴다란 비유를 주로 씀. “털난 공 정리”란 이름 역시 이 […]

각자의 스타일 (반-바지)

반-바지님이 2018년 1월 공개하신 단편 만화 “각자의 스타일”. 기존에 존재하는 개념을 SF적 상상력이 가미된 관점으로 관찰해 다르게 풀어내는 것에 탁월하신 작가님이라 개인적으로 정말 좋아한다. 최근 작품들만 봐도, 팬그램에 등장하는 동물들을 소재로 한 “다람쥐 헌 쳇바퀴 타고파“, CPU가 있다면 둠을 돌릴 수 있다는 이야기를 치환한 “형이상학계의 D■■M“, 버그를 통해 롬의 데이터를 고쳐 엔딩을 띄우는 RTA를 논리 […]

텍스트 에디터 문제

윈도우 메모장 같은 텍스트 에디터에서 빈 문서에서 ab←cd←←e←←f라고 치면 faecdb가 표시된다. (여기서 ←는 왼쪽 화살표이며, insert 키를 누르지 않은 삽입 모드를 상정한다) 이렇게 한 문자열 A(ex:abcdef)를 치는 도중 왼쪽을 쳐서 다른 문자열 B(ex:faecdb)를 얻을 수 있다면, 반대로 B에서도 A를 마찬가지 방법으로 얻을 수 있다. 2014년 미국 IMO TSTST(IMO 선발을 위한 시험을 치르기 위한 선발시험) 1번 […]

정사면체와 정사각뿔을 합치면

한 변의 길이가 1인 정사면체와, 모든 변의 길이가 1이고 밑면이 정사각형인 정사각뿔이 있다. 두 도형의 정삼각형 면 두 개를 붙여 만든 새로운 입체도형의 면의 개수는 몇 개인가? 1980년 미국 고등학생들을 대상으로 한 시험 PSAT에 등장한 문제. 당시 이 문제에서 점수를 깎인 학생 Daniel Lowen은 이의를 제기했고, 시험을 주관했던 ETS는 이의를 받아들여 두 답을 모두 정답처리했단 […]

모듈러 곡선의 실용적 이용

제목은 저렇게 썼지만 실은 정말 별거 아니고… tsujimotter의 모듈러 곡선에 대한 블로그 글에서 이 왜 Riemann sphere와 homeomorphic인지 직접 종이에 그려 잘라가며 설명하는데, “완성된 은 젓가락 봉투 같은 용도로 쓰세요”란 마지막 한 마디에 무심코 뿜어버려서…… 참고로 해당 글의 내용은 다음과 같음. (이게 본론) 상반평면 을 잡는다. 즉 복소평면에서 실수축 위에 해당하는 반평면. 의 원소 는 […]

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