주어진 원들을 분리하는 영역들

한 볼록다각형 내부에 개의 원들이 있어, 어떤 두 원을 잡아도 서로 겹치지 않고 하나가 다른 하나의 내부에 있지 않았다고 한다. 이 때, 내부의 영역을 개의 볼록다각형 영역으로 분할하여, 각각의 영역이 정확히 한 개의 주어진 원이 들어가게 할 수 있다. 예전에 후배가 풀어보라고 던져줬는데 얼떨결에 그 자리에서 보자마자 키 아이디어를 맞춰버려서 내 기억엔 훈훈한 문제로 남아있다… […]

스스로를 그리는 부등식

위 부등식의 영역을 그리면 다음과 같이 나타난다. 여기서 은 을 으로 나눈 나머지. Jeff Tupper의 SIGGRAPH 2001 논문[1]에 등장하여 Tupper’s self referential formula란 이름을 가진 식이다. 부등식의 영역이 해당 부등식 자체로 나타나는 마치 quine같은 결과를 보여주는데, 사실 함정이 하나 있다. 잘 보면 좌표가 이란 값에 의존하게 나타나있고 그 값이 명시되어있지 않다는 점인데, 위 그림에서 나오는 […]

3-regular graph의 세계일주

도시들이 주어져 있고, 각각의 도시에 대해 정확히 세 개의 서로 다른 도시로 갈 수 있는 비행기편이 있다고 한다. 어떤 사람이 이 편로들을 이용해 이 사람의 고향에서 출발해 모든 도시들을 한 번씩만 거쳐 다시 원래 도시로 돌아왔다면 이 루트를 세계 일주라 부른다. 만약 이 도시들에서 세계 일주가 가능했다면, 그 여정과 다른 방법으로 세계 일주가 가능하다. (단, […]

볼록다면체의 외각의 합

볼록다면체의 번째 변 에서 만나는 두 면이 이루는 각 중 외각에 해당하는 각을 라 하면, 이다. 볼록다각형의 외각의 합이 란 결과를 3차원으로 확장한 결과물이다. 2007년 일본 수학 올림피아드 하계 세미나 문제 코너에 출제된 문제. 문제를 공개하면 학생들이 답안을 제출해 점수를 받는 프로그램이었는데 이 문제는 제출된 답안이 없었을 정도로 쉽지 않은 문제였다. 여기서는 이리에 케이(入江慶)가 작성한 […]

NP-complete한 펜슬 퍼즐들

노노그램(네모네모로직)같이 주어진 보드에서 연역적으로 푸는 펜슬 퍼즐들이 있다. 많은 펜슬 퍼즐들은 일본의 계간지 니코리에서 등장하는데, 팬층이 두터워서 팬들이 새로운 퍼즐 포맷을 창안해 투고하고 몇 호씩 창작 문제들을 실으면서 인기가 있을지 없을지 검증하기도 함. 2012년 나고야에 갔을 때 서점에서 처음 알게된 이후로 계속 사서 즐기고 있다. 니코리 홈페이지에서 매월 일정 금액 결제해서 온라인으로도 몇 문제씩 정해진 […]

석방을 위한 카드 선택 문제

A, B가 감옥에 따로따로 갇혀있다. 어느 날 간수가 52장의 카드를 앞면이 위를 향하도록 일렬로 늘어놓고 A를 불러들여 이 카드들 중 원한다면 두 장의 위치를 바꿀 수 있게끔 했다. 그리고 A를 돌려보낸 후 모든 카드들을 각각 뒤집은 뒤, B를 불러들였다. (A와 대화를 못하도록 막아두었다)간수는 이 카드들 중 어느 특정한 카드를 랜덤하게 지정해, B가 만약 이 카드를 […]

Chomp 게임과 힐베르트의 정리

두 좌표가 0 이상인 정수인 모든 점들을 생각한다. 남아있는 점들 중 한 점을 잡아, 이 점보다 두 좌표가 크거나 같은 (즉 상대적으로 우상단에 있는) 모든 점들을 없애는 스텝을 되풀이할 때, 어떻게 해도 유한번 안에 모든 점을 없애게 된다. Fibonacci Freak에서 소개된 문제. Chomp란 이름의 게임이 있는데, 유한한 직사각형 모양의 점들에서 위에서 묘사한 시행을 되풀이하여 마지막으로 […]

페르마의 마지막 정리: 파인만의 접근

Silvan Schweber의 책 “QED and the Men who made it”에서 리처드 파인만이 페르마의 마지막 정리에 대해 쓴 2페이지짜리 글이 있다고 언급되었다고 한다. 책에는 그 내용이 대략적으로 서술되었다고 하는데, Luis Batalha가 이것을 설명한 블로그 글이 있어 이를 요약하고자 한다. 이 글이 언제 써졌는지는 불명이나, 파인만이 1988년 사망했으므로 FLT가 증명되기 전 시점임은 확실하다. 파인만은 이 문제를 확률론적으로 […]

자연수의 분배법칙으로 보는 카테고리 이론

Emily Riehl이 올린 MAA MathFest에서의 발표 자료. 자연수의 분배법칙이라는 간단한 식을 카테고리 이론적으로 증명하면서 어떻게 카테고리 이론의 개념들이 어떤 필요를 가지고 어떤 의미를 가지는지를 알려주는, 카테고리 이론에 대한 좋은 개론이 되는 컨텐츠이다. 여기서는 이 발표를 토대로 요약하고자 한다. 목표는 간단하게, 자연수 에 대해 를 보이는 것이다. 이 식으로 바로 뛰어들기 전에, 먼저 자연수란 어떤 역할을 […]

수학적으로 화수를 표현하는 특촬물

일본의 유명 특촬물 “가면 라이더”의 최신 시리즈 “가면 라이더 빌드”에서는 수식이 많이 등장한다. 주인공은 스스로 천재 물리학자라 칭하며 살고 있는 곳의 칠판에는 항상 수식이 써있고, 심지어 변신할 때에는 수식이 날아가는 연출이 나타나기도 한다. 이른바 “이과생 히어로”의 모습을 부각시키기 위한 장치로써 드라마 “갈릴레오”처럼 여러 수식이 등장하는데, 특히 매 화마다 화수를 수식을 통해 표현하는 것이 특징적이다. 예컨대 […]

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