SET을 외칠 수 없는 카드는 최대 몇 장인가

역시 좋아했던 수학 채널 PBS Infinite Series(지금은 연재 종료)의 SET 게임에 대한 영상. SET은 총 81장의 카드를 가지고 하는 게임으로, 그림처럼 카드에는 문양의 모양, 개수, 색깔, 얼마나 채워져있는가의 4가지 속성이 있다. 이 4가지 속성은 각각 3가지 경우로 나뉘고, 네 속성이 전부 동일한 카드 쌍은 존재하지 않는다. (그래서 개) 이 때 어떤 세 장의 카드가 있어 […]

평균 그림자의 넓이와 겉넓이

일전에 올라온 3Blue1Brown 채널에서 3차원 구의 겉넓이가 그 대원의 넓이의 4배가 되는 것을 설명하는 영상을 올린 적이 있었다. 개인적으로는 기대치가 너무 높아서였는지 아주 직관적으로 왜 4배가 정확히 나오는지는 설명되지 않아서 아쉬운 감이 없지는 않았음. 이와 관련된 재미있는 사실 중 하나로 이런게 있긴 하다. 임의의 3차원 상의 convex solid의 겉넓이는 그 그림자의 넓이의 평균(즉 uniformly chosen된 […]

충돌 모델과 원주율

수학적 개념이나 문제를 시각화해서 재미있게 표현하는 최애 채널 중 하나인 3Blue1Brown의 이번 영상. 위 그림처럼 완전 탄성 충돌과 마찰력이 없는 조건에서 1kg의 물체 A와 kg의 물체 B를 벽면, A, B의 순서가 되도록 나란히 놓은 뒤 선상에서 B를 움직여 A와 충돌시키고나면, 더 이상 충돌이 일어나지 않을 때까지의 충돌 횟수가 원주율의 첫 n+1 자리수가 된다는 것. (엄밀히는 […]

버스 대기 시간이 길게 느껴지는 것에 대한 수학적 설명

버스나 지하철을 기다리다보면 그 대기 시간이 길게 느껴졌던 경험이 있을 것이다. 특히, 10분마다 한 번씩 오는 버스라면 평균적으로 5분을 기다리면 다음 버스가 와야하는데 그보다 더 기다리는 경우가 많았을 수도 있다. 그런데 이게 단순히 운이 나빠서 그런 것이 아닐 수도 있다는 것. 즉, 평균 10분마다 한 번씩 오는 버스의 평균 대기시간은 5분보다 더 길다는 것이 대기시간 […]

자전거는 어느 방향으로 갔을까

한 자전거가 위와 같은 바퀴자국을 남겼다고 한다. 이 자전거는 왼쪽과 오른쪽 중 어느 쪽을 향해서 갔을까? 자전거 바퀴자국을 가지고 방향을 유추하는 문제는 셜록 홈즈 시리즈의 “프라이어리 학교”에도 등장하는 나름 유서깊은 문제이다. “자네도 볼 수 있듯이, 이 바퀴 자국을 통해 자전거를 탄 사람은 학교에서 멀어지는 방향이었지.” “학교를 향하는 방향일 수도 있지 않을까?” “아니, 아니지, 왓슨. 보통 […]

π < 2φ의 조합적 증명

황금비 에 대해 가 성립한다는 것을 조합적으로 증명한 논문[1]을 읽었다. (타이틀이 자동적으로 대문자화되는 바람에 Π < 2Φ이 되어버림… 그리스 문자까지 변환할 줄은 몰랐다;) 요는 피보나치 수 과 오일러 수 (Eulerian number 말고 Euler number. 보통 교대순열(alternating permutation)의 개수로 정의된다)의 곱이 n!보다 크거나 같고, 과 이기 때문에 으로 증명이 끝난다는 것. 여기서 을 조합적으로 보인 것이다. […]

USAMO와 Hook-length formula

2016년 USAMO(미국 수학 올림피아드) 2번 문제. 임의의 양의 정수 에 대해, 이 정수임을 보여라. 유리식 형식으로 주어진 수가 정수임을 보이는 스탠다드한 정수론 문제로, 실제로 정수론적으로 푼다면 (임의의 소수 에 대해 분모와 분자의 를 계산하여 부등식을 이끌어내는 식. 위 링크 내의 첫 번째 풀이 참조) 2/5번 문제 포지션에 맞는 적절한 올림피아드 정수론 문제였어야했다. 그런데 이 문제가 […]

95%의 사람들이 풀지 못하는 문제

SNS에서 가끔 위와 같은 과일 문제를 볼 수 있다. 보통 과일 개수에 장난을 쳐서 낚시를 하는 유형의 문제들인데 (주어진 식에는 바나나가 2개씩 나오는데 값을 물어보는 마지막 식에서는 바나나가 1개만 나온다든지) 이런게 너무 많이 등장하다보니 이에 질린 사람들이 나타났고, 그런 문제들에 대한 풍자의 목적으로 레딧에 올라온 패러디 이미지들 중 하나이다. 정리하면 의 자연수해를 묻는 문제인데, 간단해보이지만, […]

킬러 문제

고등학생 수학 문제가 혐오에 이용될 수 있는가. 1970-80년대 모스크바 주립대 수학과는 입학 면접 시험에서 그들이 “원치않는” 학생들을 합격자 명단에서 배제하기 위해 이들에게는 따로 어려운 문제들을 줬다. 그 “원치않는” 학생들은 보통 유태인 학생들인 경우가 많았고, 이들을 차별하기 위해 기존 학생들에게 제공하는 문제들과는 다른 문제 풀을 마련한 것이었다. 이 문제들의 특징은 지시문은 간결하지만 일반 고등학생이 풀기에는 너무나 […]

뜬금포 적분 – Borwein integrals

수학 관련 블로그들을 돌아다니다보면 이런 적분짤을 본 적 있었을지도 모르겠다. 몇 개의 초기항들을 가지고 패턴을 예측하고자할 때 섣불리 하려다가 큰코 다칠 수 있는 예시로 자주 등장한다. 개인적으로는 중학생 때에 비슷한 경험을 한 적이 있었다. 원 위에 n개의 점이 있어 임의의 두 점마다 연결하는 선분들을 그었을 때 만약 어떤 세 선분도 한 점에서 만나지 않았다면 원 […]

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