arcsin과 central binomial coefficients

트친이신 덱스터 님께서 계산하신 \frac{n!^2}{(2n+1)!}의 생성함수. 그 결과 식은

\displaystyle \frac{4 \arcsin(\sqrt{x} / 2)}{\sqrt{x(4-x)}}

로 쓸 수 있음을 증명하셨고 그 과정은 블로그 포스팅에 남기셨다. 생성함수를 다룰 때 그 탐색 과정이 보통 먼저 간단하게 정리하고 어떤 변수에 대한 power series로 만들지를 잡은 후 생성함수의 합이나 곱 같은 꼴에서 시작해 합성함수, 역함수와 같은 꼴이 되는지를 탐색하고, 미분과 적분이 도입될 수밖에 없는 경우 미분방정식으로 귀결되는 경우가 많다. 한 예로 예전 포스팅인 조합적으로 증명하는 삼각함수식에서 오일러 수의 지수생성함수가 2F^{\prime} = F^2 + 1을 만족시키고 같은 경계조건을 갖는 해로 F=\sec(x) + \tan(x)가 존재함을 보이기도 했다. 위 문제와 같이 팩토리얼 꼴이 들어간 유리식의 생성함수를 찾기 위한 미분방정식을 어떻게 설계해야할지도 덱스터님께서 잘 설명해주셨으니 궁금하신 분은 꼭 포스팅을 참조하기를 바란다.

덱스터님이 좌변에서 시작해 우변을 찾아가는 과정을 다룬 것과 달리, 이번 포스팅에서는 저 등식이 주어졌을 때 조금 더 정리하고 아주 약간 더 간단한 증명을 다뤄보고자 한다. 먼저 주어진 식에 x 대신 2x^2을 넣고 정리하면

\displaystyle  \sum_{n \geq 0} \frac{4^n n!^2}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}

과 동치가 된다. 여기서 좌변을 F라 하면, \frac{x}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}임을 이용해

\displaystyle  F^{\prime} = \frac{1}{1-x^2} + \frac{x \cdot \arcsin(x)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}

임을 보일 수 있고 양변에 1-x^2를 곱해 정리하면

\displaystyle  (1-x^2) F^{\prime} = 1 + xF

라는 미분방정식을 얻게 된다. 따라서 \sum_{n \geq 0} \frac{4^n n!^2}{(2n+1)!} x^{2n+1} 역시 같은 미분방정식의 해가 됨을 보이면 된다. (둘 다 x=0에서 0의 값을 갖는다) 이는 대입해서 정리해보면 쉽게 보일 수 있다. (딱히 조합론적인 인사이트가 필요한 조합등식도 아니고 \frac{2n}{2n-1} - 1 = \frac{1}{2n-1}과 같은 항등식이 바로 나오게 된다)


처음에

\displaystyle  \sum_{n \geq 0} \frac{4^n n!^2}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}

이 식을 처음 봤을 땐 다소 흥미로웠는데, 왜냐면 좌변은 central binomial coefficient \binom{2n}{n}에 해당하는 값이 분모에 들어가는 항에 대한 생성함수인데 반해, 우변을 이루는 함수들은 그 power series의 항이 \binom{2n}{n}이 분자에 있기 때문이다. 무슨 뜻인고 하니, Newton’s theorem에 의해

\displaystyle  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n \geq 0} \binom{-1/2}{n} x^{2n} = \sum_{n \geq 0} \frac{(2n)!}{4^n n!^2} x^{2n}

이 되고, 이것이 \arcsin의 미분임을 이용해

\displaystyle  \arcsin(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{(2n)!}{4^n n!^2 (2n+1)} x^{2n}

가 성립하기 때문에, 이 둘을 곱한 우변의 x^n의 계수는

\sum_{0 \leq m \leq n} \frac{\binom{2m}{m} \binom{2n-2m}{n-m}}{4^n (2m+1)}

과 같은 꼴이 나와 central binomial coefficient가 분자 쪽에 위치한다는 것을 확인할 수 있다는 뜻.


한 편,

\displaystyle  \sum_{n \geq 0} \frac{4^n n!^2}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}

을 양변에서 적분하고 상수값을 맞춰주면

\displaystyle  \sum_{n \geq 0} \frac{4^{n+1} n!^2}{(2n+2)!} x^{2n+2} = 2 \arcsin^2(x)

임을 얻을 수 있다. 이 식들은 -1 \leq x \leq 1의 범위에서 각각 수렴하여 그 값을 대입해도 괜찮으므로, 위 두 식에 x=1/2을 집어넣으면

\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n!^2}{(2n+1)!} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}

\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n!^2}{(2n+2)!} = \frac{\pi^2}{18}

같은 결과도 얻을 수 있다.


검색하다보니, 위와 같은 내용들이 다 포함된 StackExchange 질문과 답글을 찾을 수 있었다. 심지어 앞서 유도한 미분방정식도 나오고… 쭉 보다보니 아 왜 이런걸 생각하지 못했지 싶은 풀이도 있다. robjohn의 답글에서는 central binomial coefficient의 역수를 그냥 베타 함수로 표현하고 그 적분 정의를 풀어써서 해결하는데 가장 깔끔한 풀이로 보임.

Jonathan Borwein이 이러한 유형의 식들을 많이 연구했고, 그의 저서 Pi and the AGM에서 위 식의 증명도 수록되어있는 듯함. 참고로 이 분은 예전에 소개했던 뜬금포 적분 – Borwein Integrals의 주인공이기도 하다.

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