조합적으로 증명하는 삼각함수식

$\displaystyle 1+\tan^2 x = \sec^2 x$

탄젠트와 시컨트의 정의만 알면 바로 증명되는 항등식인데 이것을 조합적으로 보일 수 있다. 그를 위해선 몇 가지 해석적인 작업이 조금 필요함.

일전에 “ $\pi<2\phi$ 의 조합적 증명“에서 소개했던 교대순열이란게 있다. 교대순열은 $w(1)>w(2)<w(3)>w(4)<\cdots$ 를 만족시키는 순열. 부등호가 < > < > … 으로 정의되는 경우도 있으며 위 글 역시 그러한데, 여기서는 > < > < …으로 정의하고, < > < > … 인 순열은 역교대순열이라 부르도록 함. 애초에 교대순열에서 $w(i)$ 를 $n+1-w(i)$ 로 대응시키면 역교대순열이 나오고 반대로 역교대순열도 교대순열로 대응되는 일대일대응이 되기 때문에 그 개수는 같다. 그를 $E_n$ 으로 두도록 한다.

그러면 길이가 $n+1$ 인 교대순열 혹은 역교대순열인 순열의 개수는 $2E_{n+1}$ 인데, 이 순열에 등장하는 $n+1$ 의 오른쪽 부분은 반드시 n+1 > < > < …꼴이 되므로 교대순열이 되고, 왼쪽 부분은 순서를 뒤집으면 역시 교대순열이 된다. 따라서 이로부터 $2E_{n+1}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} E_k E_{n-k}$ 를 얻는다. (편의상 $E_0=E_1=1$ 로 둔다) 이 $E_n$ 의 지수생성함수 $F(x) = \sum_{n \geq 0} E_n \frac{x^n}{n!}$ 은 위 식에 의해

$\displaystyle 2F^{\prime}(x) = \sum_{n \geq 0} 2E_{n+1} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n \geq k \geq 0} \binom{n}{k} E_k E_{n-k} \frac{x^n}{n!} = F^2 (x)+1$

을 얻는다. 즉 $F$ 는 일차미분방정식 $2F^{\prime}=F^2+1$ 을 만족시키며 초기조건은 $F(0)=1$ 로 주어지는 것인데, 그러한 함수는 유일하게 존재한다. 마침 $F(x)=\sec (x)+\tan (x)$ 가 위 미분방정식의 해가 되기 때문에 $E_n$ 의 지수생성함수는 $\sec (x)+\tan (x)$ 가 된다. 시컨트는 우함수, 탄젠트는 기함수이므로 이를 통해

$\displaystyle \sum_{n \geq 0} E_{2n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \sec x, \sum_{n \geq 0} E_{2n+1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \tan x$

을 얻는다.

즉 위 결과로부터 시컨트와 탄젠트의 테일러 전개 계수를 조합적으로 해석할 수 있게 되고, 이를 통해 삼각함수 자체나 그들 사이의 관계식을 조합적으로 바라보는 관점을 얻게 된다. 이를 조합적 삼각함수(combinatorial trigonometry)라고 부른다. 이 시컨트와 탄젠트의 계수들을 이용하면 $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ 의 양변의 $x^{2n}$ 의 계수를 비교할 수 있게 된다. (어차피 둘 다 우함수이므로 이 짝수차수 항들만 보면 된다) 좌변과 우변은 각각 $\binom{2n}{1}E_{2n-1}E_1 + \binom{2n}{3}E_{2n-3}E_3 + \cdots+\binom{2n}{2n-1}E_1 E_{2n-1}$ 과 $\binom{2n}{0} E_{2n}E_0 + \binom{2n}{2}E_{2n-2}E_2 + \cdots + \binom{2n}{2n}E_0 E_{2n}$ 이 된다.

길이가 $2n+1$ 인 교대순열에서 $2n+1$ 의 왼쪽과 오른쪽엔 짝수개의 수가 있어야 하므로 앞에서 $E_n$ 의 점화식을 얻을 때와 비슷한 논리에 의해 우변은 길이 $2n+1$ 인 교대순열 개수가 되고, 마찬가지로 좌변은 길이 $2n+1$ 인 역교대순열 개수가 되어 둘이 같아져 증명이 끝난다.

이렇게 삼각함수들의 테일러 전개한 계수들에서 팩토리얼이 등장하기 때문에 그 계수의 비교에서 조합적 해석이 들어갈 여지가 충분히 많이 있다. 단적인 예로, 위 식과 동치인 $\cos^2 x+\sin^2 x$ 도 계수를 비교하면 이항정리 $(1-1)^n = 1_{n=0}$ 임을 묻는 문제가 된다.

또한 $T_n (\cos x) = \cos (nx)$ 가 되는 다항식 $T_n$ 을 체비셰프 다항식이라 부르는데, 이 다항식은 $T_n = 2xT_{n-1}-T_{n-2}$ 란 점화식을 만족시킨다. 이 다항식은 $n$ 개의 칸이 주어져있고 맨 첫칸에는 $x$ , 나머지 칸엔 각각 $2x$ 란 가중치가 주어져있으며 2개의 칸을 붙여 만든 도미노에는 -1이란 가중치가 붙을 때, 1개의 칸 혹은 도미노들로 $n$ 개의 칸을 채우는 모든 경우들에 대한 가중치의 곱들의 합으로도 볼 수 있게 된다.

Source: https://math.nist.gov/mcsd/Seminars/2008/2008-01-11-Benjamin-presentation.pdf

이렇게 정의된 $T_n$ 이 $T_n(\cos x)=\cos(nx)$ 가 된다는 것을 증명하는 것 역시 가능하다. 이는 [1]이나 그 저자 중 한 명인 Arthur Benjamin의 슬라이드를 참조.

트윗 타래를 정리. (2016/08/27)

10. pic.twitter.com/khgmkRDyuQ
— Elegant Math (@elegant_math) August 27, 2016

References

[1] A. T. Benjamin, L. Ericksen, P. Jayawant and M. Shattuck, “Combinatorial Trigonometry with Chebyshev Polynomials” Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 140, Issue 8, August 2010, Pages 2157-2160. DOI: 10.1016/j.jspi.2010.01:011

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