삼각함수 테일러 전개의 기하학적 증명

최근 Manim을 이용한 3B1B 스타일의 수학 영상들을 주로 올리는 채널 Mathemaniac이 올린 영상. 말 그대로, 싸인 함수나 코싸인 함수와 같은 삼각함수의 테일러 전개가 왜 성립하는지를 기하학적으로 설명하는 영상이다. 비록 기하학적 직관을 위해 약간의 갭은 있지만 충분히 엄밀하게 완성시킬 수 있을 정도의 논의가 포함되어 있다. 1930년대 러시아의 수학 교사 Y. S. Chaikovsky가 발견하였고 후에 1996년 AMM을 통해 Leo S. Gurin이 publish했다고. [1]

먼저 라디안 각도 x에 대해, 단위원에서 이 각을 중심각으로 갖는 호의 길이가 x인 것은 라디안 정의로부터 알 수 있다. 이 때, 이 단위원 모양으로 움직이지 않는 단단한 틀이 주어져 있고, 우리가 주목하는 호의 모양을 갖는 실이 주어져 있는 상황을 생각해본다. 이 상태에서 실의 한 쪽 끝을 잡고, 다른 한 쪽 끝을 팽팽히 잡아당기면서 단위원으로부터 떼어내어 최종적으로는 위 그림에서와 같이 단위원과 접하는 길이 x의 선분이 되게끔 만들 수 있다. 이 과정에서 한 쪽 끝이 그리는 자취를 involute이라 부른다.

앞에서 호를 움직여 involute를 만들어내는 과정을 이번에는 involute에 적용해본다. 즉 involute 모양의 실이 있어 이것이 앞에서와 마찬가지로 선분이 될 때까지 움직일 때의 한 쪽 끝의 움직인 자취를 2차 involute라 부르도록 한다. (맨 처음 잡은 involute는 1차 involute)

이렇게 계속해서 n차 involute를 잡아나가면 그 길이가 점점 줄어들기 때문에 최종적으로는 involute의 한 쪽 끝은 원래 호의 한 쪽 끝 점으로 수렴하게 되는데, 맨 처음 호와 involute들의 길이가 차례대로 x, x^2/2!, x^3/3!, \ldots가 되기 때문에 이 점의 좌표는 (x - x^3/3! + \cdots, 1 - x^2/2 + \cdots)가 된다. 따라서 cos와 sin의 정의가 이 좌표값이란 사실 때문에 증명이 되는 것.

그러면 왜 involute들의 길이가 x, x^2/2!, x^3/3!, \ldots이 되는가? 이를 위해서 연속적인 부채꼴의 모양을 이산적인 형태로 변환해 생각해본다.

위와 같이 호(0차 involute이라 부를 수 있다)를 동일한 길이의 N개의 현들로 분할했다고 생각한다. 그러면 1차 involute를 그리기 위해서 이 현들의 모양의 틀 바깥에서 실을 선분이 될 때까지 움직이는 과정을 생각할 때, 위 그림에서 노란 색에 해당하는 각각의 선분이 각각 길쭉한 부채꼴의 호 모양이 되는 그림이 나올 것이다. 이 때 위 그림처럼 호가 아닌 선분을 취해서 만드는 그림을 생각해볼 수 있는데, 이를 1차 involute의 이산화된 형태로 볼 수 있다. (이 때 1차 involute는 N-1개의 선분들로 이루어져 있게 된다) 마찬가지로 n차 involute의 이산화된 형태까지 생각할 수 있다.

그러면 m차 involute의 현들의 길이가 l_1, \ldots, l_5로 주어졌다면 그 다음 차수의 현들의 길이는 위와 같이 나옴을 알 수 있게 된다. 여기서 맨 처음 0차 involute의 각각의 현의 길이를 \lambda = 2\sin \frac{x}{2N}로 두면, l_1, \ldots, l_k \rightarrow \lambda l_1, \ldots, \lambda (l_1+\cdots+l_{k-1})으로 변환된다고 볼 수 있다.

맨 처음 N개의 \lambda인 상태에서 시작해 위와 같이 현의 길이들이 변환된다면, k차 involute의 길이가 \binom{N}{k+1} \lambda^{k+1}이 됨을 알 수 있다. 여기서 N \rightarrow \infty로 극한을 취하면 그 값이 \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}이 되는 것.

물론 어디까지나 직관을 위한 설명이며, 무한소로 나눈 현의 길이들이 적분되면 최종적으로 각각의 involute이 된다는 것에 대해 다소 설명은 필요하다. 게다가 길이의 무한소를 다루는 것은 세심한 주의가 필요하기도 하다. 이에 대해서는 얼마전 올라왔던 3B1B의 아래 영상을 참조. (직각 이등변 삼각형을 이용해 루트 2와 2가 같음을 보이는 패러독스와 같은 문제)

References

[1] V. N. Krishnachandran, “Where Do the Terms of the Power Series Expansions of Sine and Cosine Functions Come from? Involutes!”, Arxiv preprint

삼각함수 테일러 전개의 기하학적 증명”의 1개의 생각

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