Applied Inversive Geometry

수학 올림피아드 현역 선수 시절에 반전기하(inversive geometry)란걸 접한 적이 있었다. 평면 위에서 정의되는 매핑 반전의 여러 재미있는 성질들을 이용해, 특정 기하 문제들을 풀 때 매우 의외의 해법을 주는 도구 중 하나였다.

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry

평면 상에서 점 $O$ 를 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 원이 주어져 있으면 같은 평면 상의 점 $P$ 를 $OP \cdot OP^{\prime} = r^2$ 을 만족시키는 반직선 $OP$ 상의 점 $P^{\prime}$ 으로 대응시킬 수 있다. 이렇게 정의된 $P^{\prime}$ 을 $P$ 의 반전이라 하고, 도형이 주어져 있으면 도형을 이루는 점의 반전 이미지들로 이뤄지는 도형을 그 도형의 반전으로 부를 수 있다. 편의상 원점인 $O$ 는 무한원점으로 대응되며 그 반대로 무한원점은 원점으로 대응된다고 본다.

그러면 이 반전 사상은 여러 성질을 낳게 되는데, 무한원점을 포함하면 이 매핑은 평면 상에서의 일대일대응이고, 직선을 곡률이 0인 원으로 본다면 원을 원으로 대응시키며, 접하는 두 도형은 그 반전 이미지들도 접하게 된다. 따라서 그림이 주어져 있을 때 반전을 적용시키면 완전히 상관이 없어 보이는 그림이 등장하지만 원래 그림에서의 상황과 동치가 되도록 할 수 있다. 특히 그림에 서로 접하는 원들이 많이 등장한다면 반전을 통해 더 간단하거나 유의미한 결과물이 나올 수 있도록 만들어줄 수 있고 이를 이용하여 문제를 푸는 방식이 있었다. 일전에 Summer of Math Exposition에서 소개한 Steiner’s porism도 그 중 하나였다.

원과 직선들이 등장하는 평면 기하 문제가 아니라, 실제 사진이나 그림에 이 반전을 적용하면 어떻게 될까? 이하 이런 궁금증에 발코딩해서 직접 구현해본 결과물들이다.