볼록다각형 내부의 볼록다각형

평면 위에 두 개의 볼록다각형 가 있어 가 의 내부에 위치했을 때, 다각형 의 둘레의 길이를 라 하면 이다. 출처는 찾기 힘든 구전되는 문제. 직관적으로 생각하기 쉬운 여러 방법들로도 풀 수 있지만 (ex: A의 둘레를 증가시키며 크기를 적당히 늘리기) 다소 풀이가 복잡해지거나 더러워지기 쉬운데 매우 간결한 풀이들이 있다. 임의의 다각형 와 양의 실수에 대해, 내부와 […]

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6k+1꼴 소수에 대한 문제

2010 USA IMO TST 9번 문제. 이 소수일 때, 이 가능한가? 당시 IMO 대표 학생들이랑 미국 TST 문제들 같이 접하고 풀었었는데, 저 문제만 못 풀고 있었던 차 심지어 실제로 시험을 치른 미국 학생들 중 꽤 많은 학생들이 풀었다는 이야기를 들어서 더더욱 멘붕했던 기억이 있다. 나중에 결국 답을 전해들었는데 듣고나니 정말 납득이 가는 풀이였고 그래서 더욱 […]

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두 집합 사이의 거리에 대한 두 증명

두 유한집합 에 대해, 의 값을 다음과 같이 정의한다. (단 둘 다 공집합인 경우는 제외한다) 이 값은 두 집합 사이의 상관관계를 나타내는 척도가 된다. 예컨대 이면 0이 되고, 인 경우는 1이 되는 등, 상대적으로 겹치는 정도가 클 수록 0에 가까워져 일종의 거리처럼 생각할 수 있게 된다. 이것이 실제로 수학에서 정의되는 거리(metric)가 되려면 다음과 같은 삼각부등식이 […]

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피자 정리의 그림 한 장짜리 증명

원형의 피자 위에 한 점을 임의로 잡고 그 점을 지나는 사이각이 45도인 직선 네 개를 임의로 그어 피자를 8조각으로 나눈다. 두 사람이 번갈아가며 한 조각씩 먹었을 때, 둘이 먹은 부분의 넓이는 서로 같다. “피자 정리”로 알려진 문제. Upton이 1967년 Mathematics Magazine의 문제 코너에 출제했으며, 8 대신 8 이상의 4의 배수로 바꿔도 성립한다. Carter와 Wagon이 1994년 […]

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고대 그리스인들의 형벌 게임

2011년 나왔던 플래시 게임 “고대 그리스인들의 형벌“. 시지푸스가 되어 돌을 위로 굴려야 하고 탄탈로스가 되어 사과와 물을 먹어야 하고 프로메테우스가 되어 독수리를 쫓아내야 하고 다나이드가 되어 밑 빠진 독에 물읇 부어야 하고 제논이 되어 피니쉬 라인을 끊어야 한다. 제작자 Pippin Barr는 이 이후로도 여러 에디션을 내놓았는데 (탈플래시함) 마치 전시관에서 작품을 감상하는 듯한 Art Edition, 영원히 […]

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털난 공 정리의 간단한 증명

Hairy ball theorem이란 대수위상의 유명한 정리가 있는데, 구면 상의 각 점마다 그 구면에 접하는 벡터의 값을 갖도록 연속함수를 잡되 영벡터가 되지 않게 잡을 수 없다는 것. (no nonvanishing continuous tangent vector field) 보통 머리카락의 가마를 예시로 잡는데, 면 전체에 털이 나있는 구면을 빗질하면 반드시 가마가 생긴다란 비유를 주로 씀. “털난 공 정리”란 이름 역시 이 […]

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