정사면체와 정사각뿔을 합치면

한 변의 길이가 1인 정사면체와, 모든 변의 길이가 1이고 밑면이 정사각형인 정사각뿔이 있다. 두 도형의 정삼각형 면 두 개를 붙여 만든 새로운 입체도형의 면의 개수는 몇 개인가?

1980년 미국 고등학생들을 대상으로 한 시험 PSAT에 등장한 문제. 당시 이 문제에서 점수를 깎인 학생 Daniel Lowen은 이의를 제기했고, 시험을 주관했던 ETS는 이의를 받아들여 두 답을 모두 정답처리했단 유명한 일화가 있다. 어릴 때에 책에서 읽은 기억이 있는데(아마도 “재미있는 수학여행”이었을 듯) 찾아보니 당시의 뉴욕 타임즈 기사도 발견할 수 있었다.

원래 문제의 의도는 정사면체는 면의 개수가 4개, 사각뿔은 면의 개수가 5개이니까 붙여지는 두 면을 빼 총 면의 개수는 4+5-2=7이 된다는 것이었다. 하지만 실은 새로 만들어지는 입체도형에서 다른 면이 될 것이라 생각했던 두 면이 한 평면을 이루게 되는 것. 그것도 두 쌍이나.

다니엘은 직관적으로 이런 모습을 상상했고 답을 5라고 쓴 것이었다. 그 후 다니엘은 기계공학자로 일하는 아버지와 함께 이 사실을 수학적으로 엄밀히 증명했으나 오답 처리가 되었고, 그 이후의 일은 앞에서 설명한 바와 같다.

삼각함수를 이용한 계산으로도 증명이 가능하지만, 훨씬 더 간단하게 보일 수 있다. 먼저 문제에서 제시한 정사각뿔을 잡아, 이를 밑면의 한 변(실은 두 변)과 평행한 방향으로 1만큼 평행이동한 새로운 정사각뿔을 잡는다. 그러면 사각뿔의 두 옆면은 각각 같은 평면 상에서 평행이동하게 되므로 같은 평면을 유지한다. 이 두 평면과 두 사각뿔 사이에 있는 입체도형은 모든 변의 길이가 1인 정삼각형 네 개로 이루어진 도형, 즉 정사면체가 되어 증명이 끝난다.

혹은 아래와 같이, 정사면체에서 닮음비가 1/2인 정사면체 네 개를 잘라내면 정팔면체가 되고 이것이 두 사각뿔로 나뉜다는 것을 관찰하는 것으로도 설명할 수 있다.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2016/08/28)

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