평균 그림자의 넓이와 겉넓이

일전에 올라온 3Blue1Brown 채널에서 3차원 구의 겉넓이가 그 대원의 넓이의 4배가 되는 것을 설명하는 영상을 올린 적이 있었다. 개인적으로는 기대치가 너무 높아서였는지 아주 직관적으로 왜 4배가 정확히 나오는지는 설명되지 않아서 아쉬운 감이 없지는 않았음.

이와 관련된 재미있는 사실 중 하나로 이런게 있긴 하다. 임의의 3차원 상의 convex solid의 겉넓이는 그 그림자의 넓이의 평균(즉 uniformly chosen된 단위벡터에 수직한 평면에 사영시킨 넓이의 기대값)의 4배라는 것. Cauchy’s surface area theorem의 특수한 경우인데, stackExchange의 한 답변에서처럼 겉넓이의 미소 부분을 평면의 일부라 생각하면 직접 적분을 통해 계산이 가능하고 그 결과 평균이 라는 것을 보일 수 있으며 기대값의 선형성 때문에 이를 합하면 증명이 가능하다.

역으로 구의 겉넓이가 이란 사실에서 시작하면, 앞에서와 같은 논리에 의해 일반적인 convex solid의 겉넓이와 사영면적의 평균의 비율은 어떤 일정한 값이 나와야함을 알 수 있는데 그걸 적분으로 계산하지 않고 구의 케이스가 4라는 것을 바로 인용할 수 있기도 하겠다.

트윗 타래를 정리. (2018/12/02)

관련있는 재미있는 사실 중 하나로 이런게 있긴 하다 임의의 3차원 상의 convex solid의 겉넓이는 그 "평균 그림자 넓이"의 4배라는 것 (Cauchy's projected area theorem)

— 유닼 (@udaqueness) December 3, 2018