π와 e의 한 항등식

/r/math에서 저런 식을 봤는데, 이 식을 올린 유저는 아래와 같이 풀었다며 과정을 올렸다.

보다시피 무한한 항의 곱을 미분하면서 수렴 조건을 따지지 않고 공식을 그냥 써버려서 엄밀하지 못한 풀이임. 이 리플 밑으로 달린 리플들:

“네가 수렴 따윈 신경쓰지도 않고 욜로해버린게 마음에 드는군!”
“‘오일러는 항을 재배치해서 바젤 문제를 풀었고 우리가 그런 짓을 하면 -1/12같은 결과를 얻는다.’ – 복소해석 교수님”

참고로 이 식은 다음과 같이 보일 수 있다. StackExchange에 올라온 답변을 정리한 내용. \cosh(x/\pi)를 푸리에 전개하면 \displaystyle \cosh(x/\pi) = \sinh(1) + 2\sinh(1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+\pi^2n^2} \cos(nx)를 얻고, 여기에 x=\pi를 대입하면 \displaystyle \coth(1)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\pi^2n^2}로부터 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\pi^2n^2}  = \frac{1}{2}(\coth(1)-1) = \frac{1}{e^2-1}을 얻는다.

트윗을 정리. (2018/10/27)

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