볼록다각형 내부의 볼록다각형

평면 위에 두 개의 볼록다각형 A,B가 있어 AB의 내부에 위치했을 때, 다각형 P의 둘레의 길이를 p(P)라 하면 p(A) \leq p(B)이다.

출처는 찾기 힘든 구전되는 문제. 직관적으로 생각하기 쉬운 여러 방법들로도 풀 수 있지만 (ex: A의 둘레를 증가시키며 크기를 적당히 늘리기) 다소 풀이가 복잡해지거나 더러워지기 쉬운데 매우 간결한 풀이들이 있다.

임의의 다각형 P와 양의 실수r에 대해,

  • P 내부와
  • P 자체(경계)와
  • P 외부의 점들 중 P와의 거리가 r 이하인 점들

을 모두 포함한 집합을 P_r이라고 둔다. 그러면 AB 내부에 있을 때 A_r도 항상 B_r 내부에 있게 된다. 따라서 그 넓이를 비교하면 항상 A_r이 작거나 같게 나오는데, P_r의 넓이는 \pi r^2 + p(P)r + \text{area}(P)가 되어야 한다. 따라서 B_r의 넓이에서 A_r의 넓이를 뺀 값은 (p(B)-p(A))r+(area(B)-area(A))가 되고, r>0이면 이 값도 0 이상이 되어야 해 최고차항 계수인 p(B)-p(A)가 0 이상이 되어 증명이 끝난다.

혹은 예전 글 “평균 그림자의 넓이와 겉넓이“에서 소개했던 Cauchy’s surface area theorem에 의하면 임의의 볼록다각형 P에 대해 그 둘레의 길이는 P를 임의의 각도로 정사영시킨 선분 길이의 기대값에 2\pi를 곱한 값과 같게 된다는 것을 이용할 수 있다. 증명은 역시 마찬가지로 기대값의 선형성을 이용하면 선분일 때만 보이면 되는데 그 때는 삼각함수를 이용하거나 원을 정다각형으로 근사시키는 방법을 이용하거나… 이 증명은 n차원으로 쉽게 일반화가 가능하다는게 장점이다. 여기서 “둘레”는 (n-1)차원 면들의 volume(길이, 넓이, 부피, …)의 합으로 정의해야 함.

Elegant Math 계정에서 작성한 트윗 타래를 정리. (2016/07/28)

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